꿀잼 기계항공공학

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 티스토리에 다시 오랜만에 역학에 관련된 이야기를 해보는군요. 철의 열처리 이야기만 하다가  한 번쯤은 다른 이야기를 해보는 것도 좋을 것 같아 주제를 바꿔서 이야기를 해보도록 하겠습니다. 

 이번 이야기는 역학에서 가장 기본 중 하나인 뉴턴 법칙에 대해 이야기를 짧게하려고 합니다. 어쩌피 뉴턴 법칙은 많은 예제와 많은 연구가 되어있는 만큼 제가 할 이야기는 많이 없을 것 같아요. 다만 다수의 사람들이 정리하지 않은 뉴턴 법칙의 한계점과 그 극복에 대해서 말해보려고 합니다. 

뉴턴의 1, 2, 3 법칙의 전제 사항

 뉴턴의 법칙은 중학생들도 다들 알 정도로  중학교 과학에 일찌감치 등장하는 내용입니다. 이렇게 빨리 배운다는 것은 그 만큼 누구나 알아야할 정도로 중요한 내용이라는 뜻이죠.  그렇지만 대다수의 사람들이 뉴턴의 법칙은 사실만 외울 뿐 어떤 상황에서 적용되는지는 잘 모르는 경우가 많은 것 같았습니다. 

 우선 뉴턴의 법칙은 점질량의 합력과 운동량의 관계에 대한 것이란 걸 알아야합니다. 

     -  점질량은 부피가 없고 질량만 있는 점임.

즉, 힘을 받는 물체가 점질량임을 알고 뉴턴의 법칙을 활용해야하는 것이죠. 만약 점질량이 아닌 강체라면 강체역학으로 물체의 운동을 해석하면 됩니다.  혹은 유체의 움직임을 분석하겠다고 하면 나중에 말할 검사 체적 개념으로 접근하시면 됩니다. 

그럼 이제 뉴턴의 법칙 3가지를 짧게 이야기하도록 하겠습니다. 

1. 관성의 법칙

 관성의 법칙은 모두가 알고 있듯이 정지하는 물체는 계속 정지하려고 하고 등속 운동하는 물체는 계속 등속운동을 한다는 법칙을 말합니다. 이야기의 뜻은 그렇게 어렵지 않습니다. 다만 관성과 헷갈리는 관성력이라는 개념은 여기서 정리해야할 듯 합니다. 

 관성이라는 것은 물체가 계속 그 상태를 유지하려는 성질을 말하는 것입니다. 반면 관성력이라는 개념은 원래는 존재하지 않는 힘이지만 물체 운동상태가 갑자기 변하면서 생기는 힘을 말합니다. 또는 구심력이 작용하는 물체 위에 정지 상태로 가만있는 물체가 받는 원심력도 관성력에 해당하지요.  

 즉, 관성과 관성력을 구분할 줄 안다면 뉴턴의 1 법칙은 크게 어려운 사항이 없다고 말씀드릴 수 있습니다. 

2.  힘, 질량, 가속도의 관계

 F = ma 라는 수식으로 유명한 2법칙입니다. 저는 정확히 요렇게 쓰는 것을 권합니다. 

이렇게 쓰든 F=ma라 쓰든 넓게 보면 틀린 것은 아니나  F=ma라고 쓰면 마치 질량이 변하지 않는 것 처럼 느껴지기 때문이죠. 사실 역학에서는 보는 관점에 따라 질량이 변하는 경우도 있다는 거 참고 하시기 바랍니다. 그런 문제들을 만났을 때 제가 권하는 방식으로 접근해야 고민하는 시간을 줄일 수 있을 겁니다.  그런 예시를 몇 개 들자면 우선 물체가 광속에 가까운 속도로 이동할 경우 질량이 변할 수 있습니다. 그리고 로켓이 발사될 때 역시 질량유량이라는 게 존재하고 이 때 로켓의 질량은 시간이 지나면 줄어드니까 질량이 변한다고 볼 수 있겠지요? 

3.  작용 반작용의 법칙

 작용 반작용은 프린시피아에 있는 그대로 옮겨오면 다음과 같습니다. 

"모든 작용(힘)에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 수반된다. 두 물체 사이에 교환되는 힘은 항상 그 크기가 같고 방향은 반대이다. " 라는 뜻입니다. 이 작용과 반작용을 이런 예시로 많이 이야기합니다. 

1. 지구가 나를 당길 때 

2. 나 또한 지구를 같은 힘으로 당기고 있다. 

요렇게 이야기를 합니다. 

 아니면 두 물체가 충돌했을 경우에도 이 법칙을 이용해 문제 해결을 많이 하죠. 

4.  2법칙과 3법칙의 예시

이 2 법칙과 3법칙을 쉽게 설명할 수 있는 것을 찾아봤습니다.  

 위 그림 처럼 두 물체가 실에 연결된 상태로 3kg 인 물체에 10 N이라는 힘을 작용해봅시다. 그러면 두 물체는 연결되어 있고 하나의 물체로 움직인다고 가정하면 

2 법칙의 수식에 의해 다음과 같이 표시됩니다.

여기서 dv/dt는 가속도입니다.  그럼 이 수식을 통해 두 물체는 각각 가속도 2m/s^2만큼 작용함을 알 수 있습니다. 

두 물체의 FBD 을 그려보면 위 그림과 같습니다. FBD에 관한 이야기는 여기 포스팅을 참고해주세요.  ①의 물체의 FBD는 오른쪽으로 장력만 작용합니다. 장력의 크기는 아까 위에서 구한 가속도를 이용하면 구할 수 있습니다. 2m/s^2이었으므로 4N이 되겠네요. 

②의 3kg 물체는 오른쪽으로 10N의 힘과 함께 왼쪽으로 장력 4N이 작용합니다. 10N의 힘과 4N의 힘은 한 물체에서 작용하고 있습니다. 두 힘은 같은 작용점에 위치하고 있기 때문에 연산이 가능합니다. 그러면 3kg의 물체는 10 - 4 = 6 N 이라는 계산결과가 나오지요. 이 계산결과는 질량 x 가속도를 한 값과 같습니다.  이 물체를 통해서 실습할 수 있는게 2 법칙과 3법칙에 대한 내용이죠. 2법칙이야 수식을 적용하면 된다 치고 3법칙은 어떻게 이해할 수 있을까요? 

 저는 이 문제에서 3법칙은 두 물체에 연결된 실을 통해 확인할 수 있다고 봅니다. 3kg 물체와 2kg물체는 실로 연결되어 있는데 3kg의 물체에서 10 N의 힘을 받음과 동시에 오른쪽으로 이동하지요. 근데 3kg의 물체는 실로 연결되어 있습니다. 2kg의 물체와 함께요. 그러면 2 kg의 물체에도 실을 통해 영향을 주게 됩니다. 그 때 2kg의 물체에 4N의 힘을 작용하게 되고 반대로 3kg의 물체에도 4N의 힘이 왼쪽으로 발생하게 되는 것이죠. 그것 때문에 원래 10 N의 힘이 4N만큼 감산되어 6N이 된 것이고요. 

 추가로 이 문제를 이해하는데 중요한 개념인 장력을 하나 이해해두면 좋겠네요.  장력은 실을 당길 때 생기는 힘입니다. 실이나 케이블에 물체를 연결하고 당기면 실이 탱탱해지면서 물체를 당기게 되겠죠. 그 때의 힘이라고 생각하시면  됩니다. 

 장력은 특징이 있습니다. 하나의 실에서 발생한 장력은 그 크기가 모두 같다는 점입니다. 위 그림처럼 벽에 붙은 실을 T 라는 크기의 장력으로 왼쪽으로 당기면 벽 또한 실을 반대방향으로 T 만큼 당기게 되는것과 같습니다. 사실 실이 양쪽으로 T 만큼 당겨져야 실 전체에 작용하는 합력은 0 이되어 안움직이기 때문에 이렇게 되야 합니다. 장력은 실, 케이블 외에도 트러스 구조물에도 나오는 힘이니까 기계공학과 분들은 꼭 기억해두시기 바랍니다. 

5.  한계..그리고 그 극복!

 뉴턴의 법칙은 기계공학에서 광범위하게 쓰이는 이론입니다. 유체역학, 재료역학, 기계설계에서 정말 지겹도록 쓰이고 있습니다. 이 법칙은 지구상에서는 맞을 수 있습니다. 허나, 지구가 아닌 다른 곳에서도 이 법칙이 맞아떨어질까요? 우선 그 첫 번째 경우가 물체가 광속으로 움직일 경우입니다. 

 이 때는 뉴턴의 법칙이 성립하지 않습니다. 물체가 광속으로 움직일 때는 뉴턴의 법칙이 아니라 아인슈타인의 상대성 이론을 적용해야합니다.  

 상대 속도를 구할 때를 생각해봅시다. 자신을 기준으로 상대방의 속도를 본 것이기 때문에 상대속도는 상대방의 속도 - 나의 속도라는 방법으로 계산하면 내가 본 상대방의 속도가 나오죠. 그런데 만약 이 방법이 광속 그 이상일 경우에도 통할 수 있을까요?  결론만 이야기하면 그럴 수 없다는 겁니다. 간단히 말하면 광속은 물체 운동 속도의 상한선이기 때문에 상대속도는 광속 이상이 될 수 없고 광속이 상수로 결정되었기 때문에 시간과 공간을 다시 정의해야한다는 겁니다.

( 참고로 광속이 상수로 결정된 건 맥스웰이 아인슈타인 이전에 자유 공간에서의 빛의 속력이 3x10^6임을 증명했기 때문입니다. ) 

광속이 상수이므로 변해야하는건 공간과 시간이라는 뜻이죠. 왜 광속이 상순데 변해야하는게 시간과 공간이 되느냐면...

속력은 일반적으로 이동거리/시간으로 계산하잖아요? 그런데 속력이 상수라면 그 거리나 시간이 변함으로써 일정한 값을 유지하는것이 맞다는 것이죠.  그래서 뉴턴의 2 법칙에서 운동량이 다음과 같이 보정되어야한다는 겁니다. 

보정계수 감마는 로런츠 인자(Lorentz factor)라고도 합니다. 

기계공학에서의 물체 속도는 광속에 비해 한참 느리기 때문에 1에 거의 가깝습니다.  이 보정은 아마 광속에 가까운 수준으로 가속된 전자나 원자에 적용해야할 것 같네요. 이것이 아인슈타인의 특수 상대성 이론의 일부고, 이 특수 상대성 이론을 발전시켜 중력의 기하학적으로 해석한 것이 바로 일반 상대성 이론입니다. 

그리고 뉴턴역학은 눈에 보이지 않는 작은 세계, 원자의 세계에서도 딱 들어맞지 않았습니다.  우선 뉴턴의 역학으로는 불연속적으로 에너지를 발산하는 전자의 움직임을 설명할 수 없다는 것입니다. 전자가  원자주위를 지구와 달 처럼 돌게 된다면  전자가 원자핵으로 떨어져야하는데 그렇지 않다는 것과 전자의 궤도 반지름이 특정값의 정수배 만큼만 존재한다는 것입니다.

그런 현상을 뉴턴 법칙으로 설명할 수 없었고 그렇게 나온것이 바로 양자론이죠. 양자론에 대해서는 저도 딱 일반물리학 수준으로만 알고 있음으로 설명은 여기까지만 하겠습니다. 

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 티스토리에 오랜만에 역학과 관련된 주제로 글을 써보네요. 정말...

계~속 이 주제들 이런 학문 이야기로 글을 써보고 싶은데 근 2년간 시간이 정말 .. 시간이 제 편이 되어주질 못해 그만 글을 쓰지 못했습니다. 그 사이 이런저런 일상 이야기를 쓰는게 많았고 그걸 많이 써버리는 바람에 허허허... 그치만! 이제 다시 정착하여 재미있는 역학 이야기를 써보려고 합니다!

 오늘 이야기는 간단하게 동역학을 입문하기 전 운동학과 운동역학에 대해 이야길 해보려고 합니다. 이걸 이야기하고 난 다음에 뉴턴의 법칙에 대해서 이야길 해보면 좋을 것 같네요. 

ㅇ ㅏ ㅇ ㅏ..너무 비슷해서 헷갈려!

 비슷하지만 사실 크게 어렵지도 않습니다. 두 개를 구분하는데 있어서 가장 중요한 것은 "힘" 바로 외력의 존재 유무이지요. 물체의 운동에 있어 외력이 존재한다고 외력까지 포함해 운동을 수학적으로 서술한다면 운동역학, 반대로 외력을 고려하지 않고 운동을 수학적으로 표현한다면 운동학이 되지요. 그래서 기구학을 운동학이랑 같이 보기도 하고 기구학을 영어로 또.. Kinematics라고 하기도 하지요. 

 이렇게 변위/속도/가속도 등 물체의 이동 및 이동 궤적과 관련된 변수들을 수학적으로 표현하는게 운동학이라면 

 변위/속도/가속도가 힘에 의해 어떻게 변하는지 확인하는게 운동역학이라고 볼 수 있습니다. 이 사진은 병진운동 ( 직선으로 움직이는 운동) 만 표현했는데 회전에서도 똑같이 적용되구요. 외력으로 인해 운동이 어떻게 변하는지 보는 것이기 때문에 에너지 보존 법칙을 이용한 물체의 운동 분석과 운동량 보존/ 운동량 충격량을 통한 분석 또한 운동역학의 영역에 들어가겠네요. 

 여기서 회전운동일 경우 각속도 각가속도만 고려한다면 회전운동학, 모멘트로 인한 회전으로 인해 각속도, 각가속도의 변화가 어떻게 되는지 알아보는게 회전운동역학이라고 보시면 됩니다.  표로 간단히 정리하죠. 

이게 어디 필요하죠?

 문제풀고 점수받는데 있어서 이 두 학문의 구분은 크게 중요하지 않습니다. 뭐 그냥 역학에서 지나가는 길일 뿐이죠. 다만 이 두 개를 정확히 구분하지 못하면 향후 역학 관련 수업에서 헷갈릴 때가 굉장히 많을 겁니다. 유체역학에서 상사를 이야기할 때 보통 역학적 상사 / 운동학적 상사라는 이야기가 나오는데 여기서 많이 헷갈릴 수 있겠네요. 두 개가 같은거 아닌가 하고 생각할 수 있겠지만, 사실 외력유무에 따라 또 물체 운동이 영향을 받기 때문에 이걸 구분 안할 순 없을 것 같네요. 역학에서 나오는 많은 개념들을 이해하기 위해선 이 두개를 확실히 구분해야할 필요성이 있고 앞으로 더 어려운 것들을 설명하는데 반드시 필요하다고 생각하여 다루게 되었습니다. 

마무리

 역학 교과서들 설명이 대부분 어렵거나 아니면 " 이 부분은 다 아니까 종이 지면을 아끼기 위해서 생략해야겠어" 하고 넘어가는 부분들이 학생들을 암걸리게 하지요. 하하.. 이런 부분이 한국 주입식 교육의 단점 중 하나인 "넓어지지 않는 시야"와 환상의 시너지를 이루어서 평균속도 관련한 이 예제에서 많은 학생들을 멘탈 붕괴시키기도 하지요. 제 블로그의 취지도 사실 제가 배운 것에 대해 기록 저장소로 쓰면서 동시에 다양하고 깊게 지식을 다뤄 개인과 사회 전체의 지식 수준을 높여보자는 취지로 글을 썼었습니다. 

 일반물리학에서 그 내용이 그렇게 어렵지는 않은 상대속도! 하지만 상대속도라는 개념이 역학의 여러분야에서 종종 활용되기도 합니다. 주로 ... 문제를 풀고 해석하는 쪽이지요. 

 이번 포스팅에서는 상대속도의 개념이 뭔지, 그리고 어떻게 활용되는지 한 번 깊게 고민해봐용!!

상대속도란??

 상대속도란 관측자의 관점에 따라 계산하는 속도입니다. 이렇게 계산해봅시다. 

 이런 그림을 생각해봅시다. 그럼 A가 B를 봤을 때 A는 B가 몇 m/s로 움직이고 있는 것으로 보일까요?

5m/s로 보일것입니다. 왜냐면 A는 가만히 있으니까요. 그런데 만약 A가 움직일 경우에는 B가 어떻게 보이게 될까요??

 이번에는 A가 2m/s로 움직인다고 가정해봅시다. 그럴 경우 A는 어떻게 B가 보일까요??

 그러면 A가 움직이고 있는 그 속도는 빼주어야 간단하게 비교할 수 있겠지요? 그럼 B에 속도에서 A의 속도만큼만 빼주면 A가 보는 B의 속도가 되겠지요.  간단히 그림으로 나타내면 다음과 같습니다. 

 위 그림은 A의 속도를 빼고 B의 속도를 바라봤을 때를 나타낸 것입니다. 즉 상대속도란 누군가를 기준으로 했을 때 관찰되는 상대방의 속도를 표현한 것이라고 볼 수 있지요. 그럼 이런 상대속도가 기계공학에서는 어떻게 활용이 될까요? 어느 역학에서 자주 사용이 될까용??

어느 분야에서 사용되는가?

 아마 기계공학에서 뽑자면 유체역학과 동역학에서 활용이 많이 되지 않을까요? 실제로 그렇습니다. 그럼 어떤식으로 이용이 될까요?

 이 그림 중 (b)의 Reflected Expansion Waves의 그림을 주목해주세요. 기체역학이라는 분야에서 쓰는 것입니다. 충격파가 벽에 반사되어 움직이면 충격파가 움직이는 속도도 고려해서 계산을 해야하는 데 그러려면 상대속도라는 개념을 활용하여야합니다. 음.. 충격파 이야기는 언젠가 때가 되면 다시 이야기해야겠네요...

 이 문제는 밑에 바퀴 달린 물체가 V_0 이라는 속도로 움직이고, 이 물체에 부딫치는 유체가 V_1 속도로 움직이면 그 때 물체에 작용하는 수레의 힘을 구하는 것인데요. 이것은 유체 속도 이외에도 수레의 속도도 고려해야하는데요. 왜냐면 수레가 움직이게 되면서 빠지는 유량이 있기 때문이에요. 수레 속도를 같이 고려하면 헷갈릴 수 있으니 아예 수레 속도는 빼놓고 계산을 하는게 편하겠지요. 그래서 상대속도를 활용해야합니다. 

마치며...

 아직은 블로그에 쌓인 정보가 적어서 상대속도의 활용에 대해서 좀 더 자세히 설명하지 못했습니다. 기회가 되면 좀 더 보완을 해보고 싶네요. 상대속도 이외에도 다양한 개념들이 기계공학과 물리학에 있습니다. 저는 꾸준히 꾸준히 기계공학, 그리고 기사 공부를 하며 풀이를 재밌게 할 수 있다면 그렇게 해보고 싶습니다. 

 안녕하세요! 공돌이인생무상이에요. 이번 포스팅은 물리에서 상식으로 통하는 뉴턴의 제 2법칙에 대해서 상세하게 해석하고 생각해보는 포스팅을 작성해보려고 합니다. 

 뉴턴의 제 2법칙은 간단히 말하면 F=ma 라고 외우고 다니던 분들 많았지용? 그렇지만, 뉴턴의 제 2법칙 사실 그렇게 간단하게 생각할 수 있는게 아닙니다. 과연 원래는 어떻게 서술되어있었는지 한 번 볼까요?

뉴턴의 제 2법칙의 원형

 본래 형태는 뉴턴이 작성했던 책 프린시피아(Principia, 번역제목 : 자연철학의 수학적 원리)에 서술되어 있습니다. 그럼 프린시피아의 원래 서술은 이렇습니다. 

∑F = dp/dt 

이 수식은 외력의 총합은 dp/dt 즉, 운동량의 시간 변화율과 같다는 것입니다. 물리 시간에 운동량이란 mv(질량 x 속도)라고 배웠었지요. 즉... 이 식을 다시 서술하면 

∑F = d(mv)/dt 

로 다시 변환할 수 있습니다. 대부분의 물리 서적들은 그냥 F=ma라고만 간단히 말을 합니다. 자세히 서술하기엔 종이 양이 많이 나가게 되지요. 그리고 한 가지 이유가 더 있습니다.

왜 F=ma 라고만 소개하지?

 제 생각에 이걸 이해하기 위해서는 뉴턴의 운동 법칙이 어떠한 가정을 가지고 있는지 알아야 합니다. 뉴턴의 법칙에서 가정하고 있는건... 고등학교 물리 시간에 배웠을 때는 가정에 대한 이야기가 없었습니다. 하지만, 대학에선 그걸 알려주지요. 뉴턴의 법칙에 중요한 가정은... " 외력이 작용하는 물체는 질점으로 가정한다." 입니다. 질점이란게 뭔가요? 라고 물을 수 있는데요. 질점이란 것은 부피 없는 점입니다. 즉, 뉴턴의 법칙은 물체를 점으로 가정해서 운동을 서술한다는 것이지요. 고등학교나 일반물리 초반의 내용은 이 질점의 질량이 시간에 따라 변하지 않기 때문에 이 수식을 간단히 표현해도 상관이 없습니다. 우리가 일반적으로 외웠던 그 내용...

F = m(dv/dt)

라고만 말을 해도 상관은 없는 것이지요. 왜 기호 ∑는 없느냐? 외력은 하나만 작용한다고 가정하기 때문에 굳이 외력의 총합이라고 말하지 않아도 상관이 없는 것이지요. 

 앞으로 물리를 꾸준히 공부하고 더 깊게 활용해볼 생각이 있으신 분이라면 F=ma라고만 간단히 외우는 것 보다는 원본의 내용 ∑F = d(mv)/dt 로 이해하는 것을 추천드립니다. 왜냐면 이걸로 알아둬야 앞으로 활용할 유체역학, 재료역학 등 다양한 역학에서도 고민하지 않고 즉시즉시 활용할 수 있습니다.

이 내용을 어떻게 활용해보나??

 그럼 이제 이것이 어떻게 활용되는지 직접 보여주면 되겠지요.   

 아래 사진은 VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS DYNAMICS 10 TH 에 수록된 샘플 문제입니다. 

 이 문제가 적절해보이네요. 우리가 새로 적용할 뉴턴의 제 2법칙에 말이지요..! 이 문제는... 외력을 추적하는 것인데요. 평범한 질점이 아닌 유체일 경우에 해당합니다. 그럼... 자유물체도를 그려봐야겠네요.

위 그림들은 자유 물체도(Free Body Diagram)를 그리는 것에서 부터 시작하여 수식을 만들고 그 다음 계산을 하는  것 까지 한 것입니다. 

마치며...

 저는 이 문제를 푸는 것이 중요한 것이 아니라, 뉴턴의 제 2법칙을 잘 쓰기 위해 어떻게 이해할 것인지를 논하려고 포스팅을 한 것입니다. F=ma 식의 암기보다는, 기본적인 수식의 이해가 중요하다 생각해요. 그래서 다양하게 활용하기 위해서는 뉴턴의 2법칙의 원형을 이해하고 이를 활용하는것이 더 유익하다 이런 것입니다.

 그럼 즐거운 물리학...또 즐겁게 생각하고 고민해보자구용!!

 동역학이 어려웠던 이유 중 하나를 꼽자면 "좌표계" 때문이라는 생각이 든다. 물론, 후반부 강체 운동을 다루면 여기서 나오는 수식들이 난해하여 어려웠지만.. 

 두 번째로 나를 괴롭혔던 것은 좌표계 때문이었다고 생각한다. 그럼, 좌표계라는게 뭔지부터 일단 알아봐야겠지용?

좌표계의 종류

 좌표계는 여러가지 종류가 있다. 우리가 흔히 알고 있는  직교 좌표계, 극 좌표계가 2D 좌표계이며 3D좌표계는 직각 좌표계와 더불어 원통좌표계, 구 좌표계 이렇게 존재한다. 

더 깊게 나아간다면 경로 좌표계란 것도 있다. 또한, 동역학이 점점 발전하면서 Generalized Coordinates 라는것도 등장하게 된다. 내 기억에 마지막의 좌표계는 Lagrange Method와 관련이 있어서.. 일단 흔히들 쓰는 2D 좌표계 세 개만 소개하겠다. 

직교 좌표계

 직교좌표계는 우리가 중학교때부터 배웠고 이를 활용했었다. 

 우리가 흔히 알고 있는 이 좌표계가 맞다. 이렇게 해서 점의 위치를 찾는 문제들 풀어본 기억이 다들 있을 것이다. 실제 역학에도 이렇게 좌표계에 대해서 언급해준다. 왜냐하면 이 좌표계를 알아둬야 나중에 벡터라는 것을 더하고 뺄 때 요긴하게 쓸 수 있기 때문이다. 이 좌표계는 물체가 직선 운동을 할 때는 요긴하게 표현할 수 있겠으나, 만약 물체가 돌아버린다면? 표현하기가 아주 아아아주 난해해질 것 같다. 

 그렇기에 또다른 좌표계가 있는데...

극 좌표계

 바로 극 좌표계다. 이 좌표계는 화살표의 크기를 반지름으로, 화살표의 각도를 세타로 잡고 물체의 위치를 표현한다. 이렇게 하면 직교좌표계로 회전을 표현하지 않아도 되며, 회전운동을 표현하는것이 매우 난해하고 복잡해지지 않을 것이다. 

경로 좌표계??

 마지막 좌표계가 조금 생소할 수 있을 것 같다. 왜냐면 이 좌표계는 동역학에서 자주 나오지 않는 좌표계이니까. 간단히 핵심만 말하자면 경로좌표계는 물체가 이동한 경로 자체가 좌표가 되는 것이다. 위의 두 좌표계와 다르게, 경로의 길이만이 점의 위치를 표현하는 것이 된다. 

 이 그림에서, 저 s만이 점 p를 나타내는 도구가 되는 좌표계이다. 이렇게 하면 편리한게, 벡터도 아닌 스칼라이기 때문에 저 길이만 알면 점 p가 어디에 있는지를 확인할 수 있게 되는 좌표계이다. 하지만, 스칼라로 표현된 좌표계이기 때문에 동역학에서는 그렇게 자주 쓰일 일이 없는 좌표계다...

왜 좌표계 때문에 동역학이 어려워지는가?

이렇게 다양한 방식의 좌표계가 있다는 것을 알았다. 그런데, 왜 좌표때문에 동역학이 어려워질까? 그건, 좌표라는게 상황에 따라 필요한 좌표계로 바꿔쓰거나 아니면 변환할 수 있기 때문이다. 그렇기 때문에 좌표를 잘 선택해서 문제를 접근해야 시간을 줄일수 있다. 반대로 좌표를 잘못 선택해서 문제를 풀어나간다면 A4용지 두 장을 넘겨도 문제가 안풀리는 경우도 종종 발생할 수 있다. 

 그리고, 좌표계를 바탕으로 Frame이라는게 있다. Frame이라는 건 정역학이나 동역학 문제를 해결할 때 물체의 어느 지점을 원점으로 만든 좌표이다. 프레임의 원점은 물체의 어느 지점일 필요는 없다. 어디에나 프레임의 원점을 지정할 수 있다. 또한 프레임은 그 자체가 속도나 가속도를 가지는 운동하는 물체로 취급할 수 있다. 왜냐면.. 프레임을 어느 물체로 해도 상관은 없기 때문이다. 그래서 물체간의 운동을 표현할 때 운동방정식이 많이 난해해질 수도 있다고 한 것이다. 특히나 이런 좌표계가 운동을 가지거나 회전을 하거나 하는 경우에...

비법은?

 안타깝지만, 비법이 없다. 이렇게 프레임을 정하고 운동을 표현하는 것은 본인이 문제를 풀어보면서 숙달하는 것 외에는 딱히 그 방법이 없는 것 같다. 나 또한 처음에는 이 작업이 너무 어려웠었는데, 자꾸 하다보면 요령이 생기게 되었다.  그래서 가끔씩 좋은 문제를 찾고 고민해보면 그걸 올려볼 생각이다. 그러면 어떻게 동역학을 접근하는지 요령을 조금이라도 배울 수 있을거라 생각한다.

 마지막으로.. 동역학 열심히 해보자!