꿀잼 기계항공공학

안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다!

기계공학 하면서 가장 먼저접하는 정역학... 그 중에서 오래봐야하고 또 재료역학에도 영향을 미치는

보(BEAM)에 관한 해석법을 계속 업로드하고 있습니다. 이번에는 외팔보가 아닌 단순보로 갖고 왔고요. 

단순보에서 많이 보이는 문제 유형인...

여러개의 집중하중이 있다면 어떻게 풀어나갈것인가 알아보도록 하겠습니다!

풀이법

문제는 그렇게 어렵지 않습니다. 어렵지 않은데... 좀 번거로워요. 문제 역시 제 정역학 교재였던..

BEER 외 2명, VECTOR MECHANICS FOR ENGINEER STATICS에서 가지고 왔습니다.  연습문제 7.36번입니다. 

문제 설명을 잠시 하자면.. A점과 B점은 모두 모멘트 반력은 없는 지지점입니다. 정역학 책에 지지대와 반력에 대해서 설명한 도표들이 있을테니 거기를 참고하시면 더 자세한 설명을 볼 수 있을 겁니다. 추후에 다시 다뤄봐야겠네용...ㅎㅎ

여기까지 해서 A, B 점의 반력을 구했습니다. 반력을 구하는데 총 두 개의 방정식을 사용하였네요. 첫 번째는 힘의 평형 방정식을 이용했고, 두 번째는 모멘트 평형 방정식을 이용했습니다. 미지수가 두 개 (Ra, Rb) 였고 방정식도 두 개였으니 풀릴 수 있었네요. 

 보 문제는 이것만 기억하세요. 첫 번째는 F.B.D (Free Body Diagram)을 그리고!

 두 번째! 힘과 모멘트 평형 방정식을 푼다. 그러면 반력을 구할 수 있고 S.F.D, B.M.D를 그려낼 수 있을 겁니다! 

하지만 이 유형은 S.F.D랑 B.M.D 그려내는게 많이 귀찮고 번거롭습니다. 왜냐면... 집중 하중이 3개나 되다보니 이 하중 구간별로 나눠야하는데 그 구간이 무려 4개나 됩니다. 또한... B.M.D 그릴때도 똑같이 4개 구간으로 나뉘게되니 한 번에 처리해봅시다. 

 왜 구간별로 나뉘어야하냐면 하중이 어느 지점에서 갑자기 툭 툭 내려가다가 반력이 마지막에 작용해서 보의 하중이 0이되는... 불연속적인 조건이기 때문에 그렇습니다. 

 이런 유형은 S.F.D, B.M.D 그리기가 귀찮을 겁니다. 하중이 세 개나 있다보니 구간 별로 나눠야하고..

구간이 네 개나 되다보니 엄청 ... 어려운건 아닌데 번거롭다는 느낌이 드는 문제 유형입니다.

구간이 나눠지다보니 이 문제 유형에서는 모멘트 선도(B.M.D)가 불연속은 아니지만, 전단력선도(S.F.D)는 불연속적인 모양이 되네요. 번거롭고 불연속적이긴 하지만 검산을 하면 틀렸는지 맞았는지 바로 알 수 있지요. 

절대로 어려운 유형은 아니기 때문에 이 정도 레벨은... 잘 마무리해서 좋은 점수를 받아야겠지요?

안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다!

저번에는 보 문제 중 외팔보의 단순한 단위하중에 이어서 이번에는 좀 더 어려운 하중에 대한 문제풀이를 해보고 적응해보는 시간을 가져보려고 해용!

문제의 출처는 BEER 외 2인, VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS 10th 에서 가지고 왔습니다.

 첫 번째는 어디를 중심으로 문제풀이를 시작할 지 정하는 것입니다. 저는 A 점을 기준으로 문제풀이합니다. 이 문제같은 경우 직접해보면 왜 A 점 기준으로 문제풀이해야하는지 명확히 보입니다. B 점 기준으로 해도 되지만 그럴 경우 도심 지옥을 맛볼 것입니다... 

 그리고 저는 늘 언제나 오른쪽이 +x 방향이며 위쪽이 +y 방향입니다. 

 이 문제처럼 삼각형이나 다른 도형의 모양으로 단위하중 그래프가 그려지면 그 때부터 도심의 위치를 찾고 그 곳에 하중이 작용하는 것으로 계산해야합니다. 그렇게 해야 반력을 구할 수 있습니다. 그리고 지지점의 모멘트 또한 구할 수 있죠. 즉, 분포하중이 복잡한 모양인 경우에는 분포하중의 면적과 함께 분포 하중 그래프의 도심 위치를 정확히 찾아내지 못하면 문제 풀이가 안될 겁니다.  이것이 이전 포스팅에서 다뤘던 단순 단위하중분포와의 차이점입니다. 

 이렇게 수식으로 풀이하는 방법도 있겠으나, 단위하중은 단위로 표현하면 N/m 로 하중에 보의 길이를 나눈 값입니다. 즉, 1m 당 보가 받는 하중이란 말과도 같은것인데요. 공학적으로 보면 하중 단위가 되기 위해서는 보의 길이와 같이 어떤.. 길이와 관련된 수치를 곱하면 하중이 됨을 짐작해볼 수도 있습니다. 

 이 그림은 단위하중에서 하중으로 보를 변환한 모습입니다. 실제 보에 작용하는 하중은 wL/2 이며 하중이 작용하는 위치는 삼각형의 도심부... 즉 A점에서 x방향으로 2L/3 지점 떨어진 곳이네요.  

 이것은 B 지점에서의 반력과 반력 모멘트를 구한 것입니다. ㅎㅎ

 이 것은 A 지점에서 x 만큼 떨어진 지점에서의 하중의 함수를 그리기 위해서 수식을 사용한 것입니다. 검은색으로만 그리면 헷갈릴 것 같아 하중은 녹색으로, 모멘트는 붉은색으로 표기했습니다. 

 여기에선 전단력의 선도가 나오고...

 모멘트의 선도입니다. 외팔보의 경우 SFD, BMD 검산이 간단한데요. L( 보의 전체 길이) 를 넣어서 B 지점에서의 반력과 모멘트값이 나오면 풀이가 성공한 것입니다.  여기서는 삼각형만 대응했지만, 단위하중이 2차, 3차 여러 복잡한 모형으로 나와도 함수의 넓이 구할 줄 알고, 도심 구할 줄 알면 어떤 문제도 대응 가능합니다!

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다!

정역학 이야기를 너무 오랬동안 안했네요 허허허...이번에는 드디어! 정역학 이야기를 좀 해보려고 합니다. 저는 역학을 너무 좋아하기에... 이번 포스팅은 행복하게 해보겠습니다!

참고자료

 본문의 문제는 VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS STATICS 10th 의 연습문제 7.29번을 참고하여 풀이 만들었습니다. 

문제에 대한 풀이

참고 자료의 7.29에 대한 내용을 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 우선 좌표 방향을 설정해줍시다. 저는 늘 위쪽방향을 +y, 오른쪽 방향을 +x 로 둡니다. 이렇게 하는게 습관이 되어서 그렇게 문제를 푼답니다. 

  단위 하중 문제는 단위 하중을 하중으로 변경해야합니다. 정역학에서 나오는 단위 하중은 단위 길이당 하중의 크기를 나타내는데요. 단위 하중은 길이를 곱하면 하중으로 변환할 수 있습니다. 이 상황에서는 우선 하중만 필요하니까 P=wL로 표기한 후 하중의 위치는 L/2 로 두었습니다. 하중의 위치 정하는 것은 이전에 언급했던 도심 개념을 이해하면 바로 하중의 위치를 정할 수 있습니다. 이 문제에서는 하중이 일정한... 사각형 형상인데 사각형의 도심은 중심부에 위치하므로 L의 중심부인 L/2에 두었습니다. 이 다음 문제인 7.30에서는 삼각형으로 단위하중이 표기되는데 그런 경우에는 하중의 위치를 삼각형의 도심에 두면 됩니다.  다음 포스팅에서 자세히 언급하도록 하겠습니다. 

Step 2는 B 지점의 반력을 구하는 과정입니다. 이건 쉽죠?

Step 3는 B 지점의 모멘트를 구하는 것입니다.  이것도 쉽지요?

Step 4 부터는 S.F.D를 그려봅시다. S.F.D는 Shear Force Diagram이라해서 전단력 선도라고 하는 것입니다. 이 그림을 그리는 능력... 별거 아닌거 같지만 나중에 꼭 필요한 것이니까 여기서 확실히 마스터해봅시다!

 저는 S.F.D의 시작점을 A점으로 정했습니다.  시작점을 어디다 정하는지는 본인이 맘대로 정하시면 됩니다. 단, 부호가 달라질 수 있으니까..부호 잘 설정해야합니다. 부호는 풀다보면 헷갈려서 잘 틀리니까요.

 이건 임의의 X 지점에서 V(전단력)의 함수를 구하는 과정입니다. 임의의 x 길이에서 하중은 wx로 표현이되며 이 하중과 V라는 하중의 식을 통해 전단력의 함수를 구할 수 있습니다. 아래 그림처럼요. 

 이렇게 함수가 구해지면 그림은 바로 그려낼 수 있습니다. 

 여기서 주의할 것은 A 점을 시작으로 함수를 그렸지만, x가 L인 지점에서는 반력이 적용됩니다.  반력이 작용해야 전체 보에서 하중은 0이 되며 이를 수식으로 표현한 것입니다. 그리고 위 그림에서 x=L인 지점의 함수값을 불연속값으로 만들었는데 이렇게 해야 x=L인 지점에서 0이 된다는 것을 표현하려고 한 것입니다. 고등학생 시절 배운 불연속 개념을 여기 적용했습니다. 

B.M.D (Bending Moment Diagram)도 S.F.D와 같은 방식으로 해결하면 됩니다. 

굽힘 모멘트 역시 x=L인 지점에서 반력으로 작용하는게 있기 때문에 빼줘야합니다. 그래야 x=L, 즉 B 지점에서의 모멘트 역시나 0이 되니까요. 

 이 풀이는 단위하중과 하중간의 관계식을 이용해 문제를 해결하는 방법입니다. 눈치가 빠르신 분들은 단위 하중이 왠지 하중과 어떤 수식 관계에 있을 것이라는 생각을 하셨을 텐데... 맞습니다. 이 내용은 참고자료로 쓴 책의 373 페이지에도 자세히 나와있습니다. 

이 수식을 한 번 자세히 보도록 할까요?

C점과 C' 지점은 아주 미세한 간격을 가진 지점으로 가정한 것입니다. 이 상태에서 두 지점들의 힘과 모멘트의 수식을 정리하면 아래그림과 같습니다. 

 위의 V와 w 간의 내용은 이해하는데 어려움이 없을 거라 생각합니다. 하지만...

 여기는 좀 어려울 수도 있는데.. 요약하면 w는 같이 곱해진 △x 가 0이 되어버리는 바람에 소거되어서 결국 V와 M만 남는 관계식이 되는 것이지요.  

 즉, 이 두 관계식 V와 w의 관계, 그리고 M과 V의 관계식이 이렇게 증명되며 두 개의 관계식을 잘 이용하면 보 (Beam)문제를 적분을 이용해 쉽게 해결할 수 있다는게 요지입니다.  같은 원리로 모멘트도 적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 

 적분을 이용해 V, M의 함수를 구하고 x=L 지점에서  반력과 반력모멘트의 영향을 고려해 선도를 그리면 문제는 쉽게 해결할 수 있습니다.  이제 다음 번 포스팅은 단위하중이 간단한 형상이 아니라 복잡한 삼각형 형상일 경우 어떻게 해결해야할 지 한 번 도전해봐야겠네요!

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 티스토리에 다시 오랜만에 역학에 관련된 이야기를 해보는군요. 철의 열처리 이야기만 하다가  한 번쯤은 다른 이야기를 해보는 것도 좋을 것 같아 주제를 바꿔서 이야기를 해보도록 하겠습니다. 

 이번 이야기는 역학에서 가장 기본 중 하나인 뉴턴 법칙에 대해 이야기를 짧게하려고 합니다. 어쩌피 뉴턴 법칙은 많은 예제와 많은 연구가 되어있는 만큼 제가 할 이야기는 많이 없을 것 같아요. 다만 다수의 사람들이 정리하지 않은 뉴턴 법칙의 한계점과 그 극복에 대해서 말해보려고 합니다. 

뉴턴의 1, 2, 3 법칙의 전제 사항

 뉴턴의 법칙은 중학생들도 다들 알 정도로  중학교 과학에 일찌감치 등장하는 내용입니다. 이렇게 빨리 배운다는 것은 그 만큼 누구나 알아야할 정도로 중요한 내용이라는 뜻이죠.  그렇지만 대다수의 사람들이 뉴턴의 법칙은 사실만 외울 뿐 어떤 상황에서 적용되는지는 잘 모르는 경우가 많은 것 같았습니다. 

 우선 뉴턴의 법칙은 점질량의 합력과 운동량의 관계에 대한 것이란 걸 알아야합니다. 

     -  점질량은 부피가 없고 질량만 있는 점임.

즉, 힘을 받는 물체가 점질량임을 알고 뉴턴의 법칙을 활용해야하는 것이죠. 만약 점질량이 아닌 강체라면 강체역학으로 물체의 운동을 해석하면 됩니다.  혹은 유체의 움직임을 분석하겠다고 하면 나중에 말할 검사 체적 개념으로 접근하시면 됩니다. 

그럼 이제 뉴턴의 법칙 3가지를 짧게 이야기하도록 하겠습니다. 

1. 관성의 법칙

 관성의 법칙은 모두가 알고 있듯이 정지하는 물체는 계속 정지하려고 하고 등속 운동하는 물체는 계속 등속운동을 한다는 법칙을 말합니다. 이야기의 뜻은 그렇게 어렵지 않습니다. 다만 관성과 헷갈리는 관성력이라는 개념은 여기서 정리해야할 듯 합니다. 

 관성이라는 것은 물체가 계속 그 상태를 유지하려는 성질을 말하는 것입니다. 반면 관성력이라는 개념은 원래는 존재하지 않는 힘이지만 물체 운동상태가 갑자기 변하면서 생기는 힘을 말합니다. 또는 구심력이 작용하는 물체 위에 정지 상태로 가만있는 물체가 받는 원심력도 관성력에 해당하지요.  

 즉, 관성과 관성력을 구분할 줄 안다면 뉴턴의 1 법칙은 크게 어려운 사항이 없다고 말씀드릴 수 있습니다. 

2.  힘, 질량, 가속도의 관계

 F = ma 라는 수식으로 유명한 2법칙입니다. 저는 정확히 요렇게 쓰는 것을 권합니다. 

이렇게 쓰든 F=ma라 쓰든 넓게 보면 틀린 것은 아니나  F=ma라고 쓰면 마치 질량이 변하지 않는 것 처럼 느껴지기 때문이죠. 사실 역학에서는 보는 관점에 따라 질량이 변하는 경우도 있다는 거 참고 하시기 바랍니다. 그런 문제들을 만났을 때 제가 권하는 방식으로 접근해야 고민하는 시간을 줄일 수 있을 겁니다.  그런 예시를 몇 개 들자면 우선 물체가 광속에 가까운 속도로 이동할 경우 질량이 변할 수 있습니다. 그리고 로켓이 발사될 때 역시 질량유량이라는 게 존재하고 이 때 로켓의 질량은 시간이 지나면 줄어드니까 질량이 변한다고 볼 수 있겠지요? 

3.  작용 반작용의 법칙

 작용 반작용은 프린시피아에 있는 그대로 옮겨오면 다음과 같습니다. 

"모든 작용(힘)에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 수반된다. 두 물체 사이에 교환되는 힘은 항상 그 크기가 같고 방향은 반대이다. " 라는 뜻입니다. 이 작용과 반작용을 이런 예시로 많이 이야기합니다. 

1. 지구가 나를 당길 때 

2. 나 또한 지구를 같은 힘으로 당기고 있다. 

요렇게 이야기를 합니다. 

 아니면 두 물체가 충돌했을 경우에도 이 법칙을 이용해 문제 해결을 많이 하죠. 

4.  2법칙과 3법칙의 예시

이 2 법칙과 3법칙을 쉽게 설명할 수 있는 것을 찾아봤습니다.  

 위 그림 처럼 두 물체가 실에 연결된 상태로 3kg 인 물체에 10 N이라는 힘을 작용해봅시다. 그러면 두 물체는 연결되어 있고 하나의 물체로 움직인다고 가정하면 

2 법칙의 수식에 의해 다음과 같이 표시됩니다.

여기서 dv/dt는 가속도입니다.  그럼 이 수식을 통해 두 물체는 각각 가속도 2m/s^2만큼 작용함을 알 수 있습니다. 

두 물체의 FBD 을 그려보면 위 그림과 같습니다. FBD에 관한 이야기는 여기 포스팅을 참고해주세요.  ①의 물체의 FBD는 오른쪽으로 장력만 작용합니다. 장력의 크기는 아까 위에서 구한 가속도를 이용하면 구할 수 있습니다. 2m/s^2이었으므로 4N이 되겠네요. 

②의 3kg 물체는 오른쪽으로 10N의 힘과 함께 왼쪽으로 장력 4N이 작용합니다. 10N의 힘과 4N의 힘은 한 물체에서 작용하고 있습니다. 두 힘은 같은 작용점에 위치하고 있기 때문에 연산이 가능합니다. 그러면 3kg의 물체는 10 - 4 = 6 N 이라는 계산결과가 나오지요. 이 계산결과는 질량 x 가속도를 한 값과 같습니다.  이 물체를 통해서 실습할 수 있는게 2 법칙과 3법칙에 대한 내용이죠. 2법칙이야 수식을 적용하면 된다 치고 3법칙은 어떻게 이해할 수 있을까요? 

 저는 이 문제에서 3법칙은 두 물체에 연결된 실을 통해 확인할 수 있다고 봅니다. 3kg 물체와 2kg물체는 실로 연결되어 있는데 3kg의 물체에서 10 N의 힘을 받음과 동시에 오른쪽으로 이동하지요. 근데 3kg의 물체는 실로 연결되어 있습니다. 2kg의 물체와 함께요. 그러면 2 kg의 물체에도 실을 통해 영향을 주게 됩니다. 그 때 2kg의 물체에 4N의 힘을 작용하게 되고 반대로 3kg의 물체에도 4N의 힘이 왼쪽으로 발생하게 되는 것이죠. 그것 때문에 원래 10 N의 힘이 4N만큼 감산되어 6N이 된 것이고요. 

 추가로 이 문제를 이해하는데 중요한 개념인 장력을 하나 이해해두면 좋겠네요.  장력은 실을 당길 때 생기는 힘입니다. 실이나 케이블에 물체를 연결하고 당기면 실이 탱탱해지면서 물체를 당기게 되겠죠. 그 때의 힘이라고 생각하시면  됩니다. 

 장력은 특징이 있습니다. 하나의 실에서 발생한 장력은 그 크기가 모두 같다는 점입니다. 위 그림처럼 벽에 붙은 실을 T 라는 크기의 장력으로 왼쪽으로 당기면 벽 또한 실을 반대방향으로 T 만큼 당기게 되는것과 같습니다. 사실 실이 양쪽으로 T 만큼 당겨져야 실 전체에 작용하는 합력은 0 이되어 안움직이기 때문에 이렇게 되야 합니다. 장력은 실, 케이블 외에도 트러스 구조물에도 나오는 힘이니까 기계공학과 분들은 꼭 기억해두시기 바랍니다. 

5.  한계..그리고 그 극복!

 뉴턴의 법칙은 기계공학에서 광범위하게 쓰이는 이론입니다. 유체역학, 재료역학, 기계설계에서 정말 지겹도록 쓰이고 있습니다. 이 법칙은 지구상에서는 맞을 수 있습니다. 허나, 지구가 아닌 다른 곳에서도 이 법칙이 맞아떨어질까요? 우선 그 첫 번째 경우가 물체가 광속으로 움직일 경우입니다. 

 이 때는 뉴턴의 법칙이 성립하지 않습니다. 물체가 광속으로 움직일 때는 뉴턴의 법칙이 아니라 아인슈타인의 상대성 이론을 적용해야합니다.  

 상대 속도를 구할 때를 생각해봅시다. 자신을 기준으로 상대방의 속도를 본 것이기 때문에 상대속도는 상대방의 속도 - 나의 속도라는 방법으로 계산하면 내가 본 상대방의 속도가 나오죠. 그런데 만약 이 방법이 광속 그 이상일 경우에도 통할 수 있을까요?  결론만 이야기하면 그럴 수 없다는 겁니다. 간단히 말하면 광속은 물체 운동 속도의 상한선이기 때문에 상대속도는 광속 이상이 될 수 없고 광속이 상수로 결정되었기 때문에 시간과 공간을 다시 정의해야한다는 겁니다.

( 참고로 광속이 상수로 결정된 건 맥스웰이 아인슈타인 이전에 자유 공간에서의 빛의 속력이 3x10^6임을 증명했기 때문입니다. ) 

광속이 상수이므로 변해야하는건 공간과 시간이라는 뜻이죠. 왜 광속이 상순데 변해야하는게 시간과 공간이 되느냐면...

속력은 일반적으로 이동거리/시간으로 계산하잖아요? 그런데 속력이 상수라면 그 거리나 시간이 변함으로써 일정한 값을 유지하는것이 맞다는 것이죠.  그래서 뉴턴의 2 법칙에서 운동량이 다음과 같이 보정되어야한다는 겁니다. 

보정계수 감마는 로런츠 인자(Lorentz factor)라고도 합니다. 

기계공학에서의 물체 속도는 광속에 비해 한참 느리기 때문에 1에 거의 가깝습니다.  이 보정은 아마 광속에 가까운 수준으로 가속된 전자나 원자에 적용해야할 것 같네요. 이것이 아인슈타인의 특수 상대성 이론의 일부고, 이 특수 상대성 이론을 발전시켜 중력의 기하학적으로 해석한 것이 바로 일반 상대성 이론입니다. 

그리고 뉴턴역학은 눈에 보이지 않는 작은 세계, 원자의 세계에서도 딱 들어맞지 않았습니다.  우선 뉴턴의 역학으로는 불연속적으로 에너지를 발산하는 전자의 움직임을 설명할 수 없다는 것입니다. 전자가  원자주위를 지구와 달 처럼 돌게 된다면  전자가 원자핵으로 떨어져야하는데 그렇지 않다는 것과 전자의 궤도 반지름이 특정값의 정수배 만큼만 존재한다는 것입니다.

그런 현상을 뉴턴 법칙으로 설명할 수 없었고 그렇게 나온것이 바로 양자론이죠. 양자론에 대해서는 저도 딱 일반물리학 수준으로만 알고 있음으로 설명은 여기까지만 하겠습니다. 

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 티스토리에 오랜만에 역학과 관련된 주제로 글을 써보네요. 정말...

계~속 이 주제들 이런 학문 이야기로 글을 써보고 싶은데 근 2년간 시간이 정말 .. 시간이 제 편이 되어주질 못해 그만 글을 쓰지 못했습니다. 그 사이 이런저런 일상 이야기를 쓰는게 많았고 그걸 많이 써버리는 바람에 허허허... 그치만! 이제 다시 정착하여 재미있는 역학 이야기를 써보려고 합니다!

 오늘 이야기는 간단하게 동역학을 입문하기 전 운동학과 운동역학에 대해 이야길 해보려고 합니다. 이걸 이야기하고 난 다음에 뉴턴의 법칙에 대해서 이야길 해보면 좋을 것 같네요. 

ㅇ ㅏ ㅇ ㅏ..너무 비슷해서 헷갈려!

 비슷하지만 사실 크게 어렵지도 않습니다. 두 개를 구분하는데 있어서 가장 중요한 것은 "힘" 바로 외력의 존재 유무이지요. 물체의 운동에 있어 외력이 존재한다고 외력까지 포함해 운동을 수학적으로 서술한다면 운동역학, 반대로 외력을 고려하지 않고 운동을 수학적으로 표현한다면 운동학이 되지요. 그래서 기구학을 운동학이랑 같이 보기도 하고 기구학을 영어로 또.. Kinematics라고 하기도 하지요. 

 이렇게 변위/속도/가속도 등 물체의 이동 및 이동 궤적과 관련된 변수들을 수학적으로 표현하는게 운동학이라면 

 변위/속도/가속도가 힘에 의해 어떻게 변하는지 확인하는게 운동역학이라고 볼 수 있습니다. 이 사진은 병진운동 ( 직선으로 움직이는 운동) 만 표현했는데 회전에서도 똑같이 적용되구요. 외력으로 인해 운동이 어떻게 변하는지 보는 것이기 때문에 에너지 보존 법칙을 이용한 물체의 운동 분석과 운동량 보존/ 운동량 충격량을 통한 분석 또한 운동역학의 영역에 들어가겠네요. 

 여기서 회전운동일 경우 각속도 각가속도만 고려한다면 회전운동학, 모멘트로 인한 회전으로 인해 각속도, 각가속도의 변화가 어떻게 되는지 알아보는게 회전운동역학이라고 보시면 됩니다.  표로 간단히 정리하죠. 

이게 어디 필요하죠?

 문제풀고 점수받는데 있어서 이 두 학문의 구분은 크게 중요하지 않습니다. 뭐 그냥 역학에서 지나가는 길일 뿐이죠. 다만 이 두 개를 정확히 구분하지 못하면 향후 역학 관련 수업에서 헷갈릴 때가 굉장히 많을 겁니다. 유체역학에서 상사를 이야기할 때 보통 역학적 상사 / 운동학적 상사라는 이야기가 나오는데 여기서 많이 헷갈릴 수 있겠네요. 두 개가 같은거 아닌가 하고 생각할 수 있겠지만, 사실 외력유무에 따라 또 물체 운동이 영향을 받기 때문에 이걸 구분 안할 순 없을 것 같네요. 역학에서 나오는 많은 개념들을 이해하기 위해선 이 두개를 확실히 구분해야할 필요성이 있고 앞으로 더 어려운 것들을 설명하는데 반드시 필요하다고 생각하여 다루게 되었습니다. 

마무리

 역학 교과서들 설명이 대부분 어렵거나 아니면 " 이 부분은 다 아니까 종이 지면을 아끼기 위해서 생략해야겠어" 하고 넘어가는 부분들이 학생들을 암걸리게 하지요. 하하.. 이런 부분이 한국 주입식 교육의 단점 중 하나인 "넓어지지 않는 시야"와 환상의 시너지를 이루어서 평균속도 관련한 이 예제에서 많은 학생들을 멘탈 붕괴시키기도 하지요. 제 블로그의 취지도 사실 제가 배운 것에 대해 기록 저장소로 쓰면서 동시에 다양하고 깊게 지식을 다뤄 개인과 사회 전체의 지식 수준을 높여보자는 취지로 글을 썼었습니다. 

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 이번 포스팅은 Beam (보)에 대해 간략히 알아보려합니다. 흔히들 보라고 하는 구조물에 하중이 작용할 경우 어떻게 접근하는지 알아봅시다. 

정정보란?

 일단 보 부터 먼저 말을 해야겠네요. 보란 수직 하중에 대해 버텨주는 구조물을 말해요. 보통 이런 경우를 보라 합니다. 

여기서 F는 하중으로 단위는 N 이고, w는 길이당 하중으로 N/m입니다. 

 그럼 정정보라는건 뭘까요?

 위 세가지 모양의 보를 정정보라고 합니다. 정정이라는 뜻은 보에 작용하는 힘과 모멘트의 평형 방정식을 이용하면 반력 지점에 작용하는 힘과 모멘트를 구할 수 있다는 뜻입니다.  저 세 가지 형태에서는 두 방정식만 가지고도 반력이 작용하는 지점의 반력을 정확히 구할 수 있다는 뜻이기도 합니다. 

  단순보와 돌출보에서 오른쪽 반력 지점 ( 세모 아래 동그란게 세 개 있는거랑 동그라미 )는 y 축 반력은 존재하지만 x 축 반력은 존재하지 않는 반력 지점이라는 뜻입니다.  정확한 명칭은 롤러구요. 더 자세한 건 여러분들이 가지고 있는 정역학 책에 나와있지요. 

 그럼 정정보 중에서 단순보에 단순 하중이 작용할 경우 어떻게 접근하는지 알아보도록 할까요?

단순보에 단순 하중이 작용할 경우

이 부분만 잘 이해한다면 앞으로의 문제들을 쉽게 해결할 수 있지용 

 정정보 문제에서 가장 중요한 것은

 1. 평형 방정식을 세우고 반력을 구한 후

 2. 반력을 가지고 전단력 선도 (SFD)와 굽힘 모멘트 선도 (BMD)를 그릴 함수를 만드는 것입니다. 

  이렇게 힘의 평형 방정식과 모멘트 평형 방정식을 풀어서 반력 지점의 반력을 구하는 것입니다. 이 반력들은 꼭 필요한 값들입니다. 왜? 이 반력을 알아야 함수 시작점이나 함수 값을 알 수 있기 때문이죠! 

  반력만 구하면 재미 없겠지요? 그 다음 과정이 가장 중요하다고 생각합니다. 왜냐구요? 

 이 다음 과정에 나오는 SFD/BMD ( 전단력 선도/ 굽힘 모멘트 선도 )를 작성하는 방법을 완전히 이해하고 있어야 재료역학을 배울 때 편안하게 공부할 수 있어요. 이걸 이용해서 더 어려운 문제들을 풀어내는게 있거든요.

 아마도 V, M, x 때문에 머리가 좀 아프실 것으로 생각됩니다. V는 전단력 함수, M은 모멘트의 함수값을 이야기합니다. x는 0과 L( 보 전체의 길이 ) 사이에 있는 실수입니다. 아마 x 가 윗 장에서는 0~1/2 L사이에 있는거랑 1/2 L과 L 사이에 있는 두 가지로 나뉘어 푼 이유가 궁금하실 텐데요. 그건 1/2L 에서 불연속적인 함수값의 변화가 있기 때문입니다. 이 지점에 무슨 일이 생기지요? 이 지점에서 F라는 힘이 아래로 작용하고 있기 때문에 불연속적 변화가 생긴거고, 그래서 불연속적 변화가 생기기 전과 후에 함수값이 어떻게 나오는지 분석하고 두 가지를 통합해서 함수로 뽑아낸 계산과정입니다.  

 이 두 선도를 비교해보면... 눈치 빠르신 분들은 바로 눈치채실텐데요. 두 함수의 관계는 아래 식을 만족합니다. 

 이 수식이 의미하는 바는, 굽힘 모멘트를 미분하면 전단력 함수가 나온다는 뜻이지요. 요 관계도 나중에 요긴하게 써먹을 수 있습니다. 재료역학에서요. 

마무리

 일단 단순보에서 간단한 케이스 하나를 가지고 설명한 것 같네요. 하지만, 아직 안 끝났지요. 나머지 정정보 두 가지 케이스랑 여러가지 하중이 작용하는 경우 어떻게 대처해야할지에 대해서도 포스팅해봐야겠지요? 그래야 재밌으니까요 허허허...

 안녕하세요! 꿀잼기계공학입니다. 회사 이전 및 기계기사 시험 준비로 인해 오랜 기간동안 블로그를 좀 비웠습니다. 이 블로그 외에도 네이버 블로그도 운영하고 있는데요. 네이버 블로그에 기사 시험 후기를 작성하면서 일반기계기사 작업형 시험까지 모두 완료했네요. 네이버 블로그에 실기 필답형과 실기 작업형에 대한 제 소감을 적어두었으니, 여기에는 차기 계획과 피드백을 기록하려합니다. 

시험 해 본 결과 ... 무엇이 부족했나..

 제 생각에는 필답형과 작업형 모두 시간을 잘 못 배분했다는 생각이 드네요. 이 블로그에도 제 계획표까지 올려가며 해보려했으나, 7월달 시험치는 실기를 6월달에 해버리는 바람에 계획이 다 틀어졌다고 생각합니다. 네... 최소 두 달 전에 준비해야할 시험을 한 달전에 준비했기 때문에 좀 망했네요. 

 또한, 일반기계기사 시험 필답형이 몇 년 전에 비해서 조금 헷갈리게 출제해두었네요. 덕분에 점수 왕창 날리게 되었습니다 ㅠㅠ 다른 건 몰라도 나사 문제... 맞출 수 있는 것인데, 단위가 생소하게 톤 단위로 나오는 바람에 결국...ㅠㅠ

 작업형 또한 안타깝게도 어설프게 마무리되었어요. 작업형에서 고려해야할 건 딱 두 가지였네요. 생체리듬 조절과 2D 도면 배치하는 걸 많이 경험을 쌓아야겠어요..ㅠㅠ

 생체리듬 조절의 경우 5시간이란 시험시간동안 볼일을 볼 수도 있기 때문에 시험 전날 되도록이면 뭐 많이 안먹은 상태에서 시험을 쳐야 5시간동안 풀 집중해서 시험을 다 할 수 있을 것 같습니다. 다 아는 부품들인데... 3D는 얼마 안걸리는데 2D 도면 배치와 치수 배치, 공차 배치에서 시간이 엄청나게 오래걸리네요... 그리고 3D 부품 배치의 경우 인벤터에서 컬러로 나오면 흑백으로 글씨를 꼭 바꿔야겠더군요. 안그러면 도면 탬플릿에 글자가 안뽑혀요.. 엉엉엉ㅇ....

차기 일반기계기사 준비는??

 일반기계기사..중요한 자격증이라 생각합니다. 왜 일반기계를 따야하느냐? 공기업을 가기 위해서지요. 솔직히 말해서 중소기업 좋나 싫습니다. 지금 중소 오래다녀봐야 비전도 없을 뿐더러... 10년 일해도 대기업 신입사원 연봉보다 못한 돈 받아야 되지요. 자괴감은 덤이고요. 그렇기에 35살 이전에 얼른 공기업으로 이직하려고요. 중소 오래다녀봐야 전문성 못 쌓고, 전문성이 없으면 앞으로 40대 이후가 불투명해져요. 뭐 중소기업 나온다고 이직이 잘 되고 그럴리는 없지요. 한 곳에 오래있어도 결국 짤리게 되니, 얼른 공기업으로 튀어야져 ㅎㅎ. 공기업을 목표로 하는 다른 이유는, 블라인드 채용때문이죠. 대기업의 경우 지금 중소경력과 제 나이로는 절대 갈 수 없다는 것을 깨달았고, 그렇기에 공기업 말고는 답이 없음을 깨달았기 때문이죠. 공기업 기술직군에 서류 점수에서 후달리지 않으려면 일단 자격증이 하나 더 필요하다고 판단해서 일반기계기사를 꼭 따려고요. 건설기계설비기사는 하나 따두었지만, 그걸론 부족하니까요. 

 이제 차기 일반기계기사에 대해서 언급하자면, 11월달에 시험을 쳐야할 것 같네요. 하하하... 항공기사랑 좀 같이 준비해야해서 마이 힘들겠네요. 아무래도 휴가가 있는 8월달에 항공기사를 , 추석이 있는 9월에 일반기계기사 실기를 확실히 잡아둬야 올해 하반기에 자격증 두개가 나오겠네요. 후우... 자격증 겁나 빡세게 굴러가네요 21년은... 그래도 빡세게 해야 35이전에 공기업으로 빤스런 할 수 있으니, 꼭 힘내서 성공해봐야겠슴다!

 안녕하세요! 꿀잼 기계항공공학입니다. 3월 7일 오늘 일반기계기사 필기 시험이 있었지요? 저는 가답안을 확인하고 합격을 확정지었습니다.  그렇지만, 필기만 했다고 해서 일반기계기사가 끝은 아닙니다. 아직, 실기와 작업형이 있어 그걸 잘 마무리해야겠지요?

필기 간단 후기

 제가 운영하는 네이버 블로그에서도 일반기계기사 필기 후기를 간단히 서술했습니다. 

 간단히 말하자면 이번 일반기계기사는 어려운 문항이 많이 나오지도 않았고, 어려운 개념이 나오지도 않았습니다. 1과목 부터 5과목까지 대부분 그렇게 나왔습니다. 한마디로 이번 일반기계기사는 무난했다고 볼 수 있지요. 

 다만 재료역학이 조금 달랐습니다. 평소에 부정정보에 대한 문제가 한 문제가 출제되었다면 이번에는 세 문제나 나와서 조금 당황스러웠네요. 재료역학이 추후에 더 어려워지지 않을까 생각해봅니다. 

실기 계획

 이제 실기 (필답형과 작업형)이 중요합니다. 대부분 여기서 많이 떨어지더군요. 일단 실기 중 필답형에 대해서 먼저 언급해야겠습니다. 

 필답형의 경우 일반기계기사는 기어 문제가 반드시 하나는 나오고, 그리고 기어의 개념에 대해서 확실하게 외워두지 않으면 아예 풀 수가 없는 문제가 나오기도 합니다. 기어의 언더컷을 방지하는 방법을 서술하시오 같은 문제들 말이지요. 기어에 많은 시간을 투자하고 스퍼기어뿐만 아니라 웜, 바벨 기어도 확실히 해두어야겠습니다. 이렇게 필답형을 꼼꼼히 하는 이유는 작업형에서 점수가 잘 안나오기 때문입니다. 

 4월 말에 실기의 필답형 시험이 있으나, 작업형이 일주일 이내에 바로 시험을 쳐야하기 때문에 동시에 준비해야한다고 저번 포스팅에서 말씀드렸습니다. 작업형의 경우 똑같지는 않지만, 설계하는 회사에서 요구하는 데이텀, 공차, 기하공차등 설계하는 사람들이 가지고 있어야하는 개념을 묻기도 하기 때문에 중요하다고 봅니다. 이번 3월과 4월또한 많이 바쁘겠네요..

 그래도 이번 1분기 기사 시험을 반드시 합격해야 3분기에 다른 기사를 준비할 수 있습니다. 2분기에 합격해버리면, 3분기 기사시험에 영향을 미치게 됩니다. 기사 시험이 매 분기마다 있는게 아니라, 3회 4회가 4분기에 몰려있는 경향이 있어서 저 같은 직장인은 기사시험에 올인을 할 수 없네요.. 1년에 2개 따면 굉장히 잘 따내는 것 같습니다..

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 이번 포스팅에서는 정역학에서 보는 트러스 구조물들의 평형방정식 작성하는 방법과 풀이에 대해서 한 번 언급해보려고 합니다. 물론 트러스 구조물 복잡하게 나오면 다양한 방법이 있지만 일단 그것에 대해서는 추후에 작성하기로 하고, 이번 포스팅에서는 트러스와 간단한 구조물을 어떻게 해석하는지에 대해서 한 번 알아보도록 합시다. 

트러스란 뭔가요?

 트러스는 간단히 이야기하자면 자재들을 이어서 삼각형 모양으로 만들어 하중을 버티는 구조물입니다. 그림을 보면 바로 이해가 될 것 같네요. 

이렇게 생긴 구조물들, 이렇게 생긴 다리들 길 지나다 보면 많이 봤을 겁니다. 삼각형 모양이 여러개로 이어져서 하나의 구조물이 된 것입니다. 이걸 보통 트러스라고 부릅니다. 대표적으로 에펠탑도 이런 트러스 구조물 중 하나입니다. 

 저는 트러스 구조를 활용하는 이유를 두 가지라고 봅니다. 우선 첫째는 철재의 특징을 알면 이해할 수 있는 것이라 생각합니다. 구조물을 만드는데 철을 쓰는 이유는 철 특유의 강력한 인장강도 때문입니다. 철이 잘 녹슬긴 하나 지각에서 흔히 구할 수 있는 물질이고 ( 가격이 싸다 ) 그 만한 가격에 큰 인장강도를 갖기 때문에 많이 활용하지요. 다만 압축에는 약하기에 그걸 보안하기 위하여 콘크리트를 붙이기도 하지요..

 두 번째로는 이런 구조로 이어 붙이면 하중을 분산할 수 있습니다. 인장 혹은 압축 하중 위주로요. 이런 가정을 해봅시다. 

 구조물에 이 상태의 하중이 가해졌다면 각 부재들은 어떤 하중을 받게 될 지 한 번 분석해봅시다. 과연 어떻게 될까요?

일반기계기사에서의 트러스 해석

 아까 가정에서 말한 저 정도의 트러스 구조물도 사실은 엄청 해석하기 까다롭고 어려운 축에 속해요. 

 동그라미 친 7 개의 점 각각에 대해 해석을 해야하기 때문이지요. 다행히도 일반기계기사에서는 고 정도의 수준까지는 아닙니다. 일반기계기사 문제 수준의 문제에 다가가기 전에 트러스 문제 어떻게 해석하는지 한 번 해봐야겠지요?

 동그라미 친 7개의 점에 기호를 부여하고 이 트러스 하중을 분석하기 전 FBD (자유 물체도)를 그려서 각 점에서 어떻게 하중이 작용하는지에 대해서 표현한 것입니다. 일단 좌표를 정해 어느 방향을 +로 할 것인지 정하고 힘이 어떻게 작용할 지 예상한 것입니다. 아마 문제를 풀면 하중의 방향이 처음 정했던 것과 반대로 바뀌는 것들도 있을 겁니다. 이거 7개에 대해서 상세하게 설명하려면 스크롤이 엄청 늘어나겠네요. 

 각 질점의 하중을 분석하는데 있어서 사용한 룰은 딱 하나입니다. 트러스 구조물에 작용할 수 있는 하중은 부재의 축 방향으로 반력이 작용한다는 룰 하나만 가지고 간단한 기사문제를 해결해보며 이 포스팅을 마쳐보려고 해요. 

2020년 1 2회 통합회차 일반기계기사 재료역학 9번 문제

 이 문제는 엄청 간단한 트러스 문제입니다. 점이 세 개인데 그렇게 어렵게 접근할 필요도 없이 간단하게 해결할 수 있습니다. 방금 이야기했던 " 트러스 구조물에 작용할 수 있는 하중은 부재의 축 방향으로 반력이 작용한다 " 라고 했던 것 기억하시나요? 정역학에서 주구장창 사용하는 힘, 모멘트 평형 방정식과 그 원리만 가볍게 첨가해서 풀어보도록 할게요. 

 간단히 B점에서의 평형방정식만 구하면 되는 간단한 문제입니다. 모멘트도 구하고는 싶지만, 문제를 풀어보면서 왜 굳이 모멘트를 안 구해도 되는지 알겠더군요. 모멘트 평형도 하고싶으면 억지로 넣어도 되지만, 굳이 그러지 않아도 됩니다. 힘의 성분분해만 잘해도 미지수 구하는데 무리는 없습니다. 

 이 문제의 키포인트도 간단하게 말하자면 부재에 어떻게 반력이 작용하는지만 잘 알고 있다면 푸는데 어려울 것은 없습니다. 그림만 봐도 바로 이해할 수 있습니다. 혹은 트러스 해법이 아니라도 일반기계기사 수험서에 나와있는 풀이들로도 충분히 풀 수 있습니다. 

마치며..

 기사에서는 다루지 않지만, 트러스에서는 각 점에서 작용하는 하중을 분석하는 방법이 두 개 있습니다. 다음에는 그 두 가지 방법에 대해 소개하고 풀이해보도록 하겠습니다.

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 이번 포스팅에서는 저번에 포스팅했던 단면 2차 모멘트에 이어 단면 2차 모멘트와 관련있는 개념들을 한 번 알아보도록 합시다. 

회전 반경

회전 반경은 주로 기둥의 좌굴에 대해 계산할 때 많이 쓰는 개념입니다. 이 회전 반경이란 것은 물리적인 의미가 있다기 보다는 평균값과 비슷한 개념이라고 보시면 됩니다. 

 간단하게 위의 수식처럼 계산을 하는 것인데 이게 왜 평균값과 비슷한 개념이라고 말하는 것일까요?

 위의 식이 우리가 알고 있는 단면 2차 모멘트에 관한 기본 식인데요. 저 적분된 식에서 출발하지 않고 이렇게 생각해봅시다. 

 우리가 계산하는 물체들이 모두 균일하다고 생각했을 때 그 때 도심을 중심으로한 평균 반경은 어떻게 될 까요? 그 평균 반경을 구하는 것이 회전 반경이라는 개념으로 보시면 될 것 같네요. 

 그러면 간단하게 r이라는 값 (위에서는 K로 언급)을 구할 수 있게 됩니다. 

어떤 물리적 의미가 아니라, 수학적으로 뭔가 평균을 구하거나 계산하기 위해 사용되는 개념이라는 것 정도로 알아둡시다. 참고로 재료 역학에서는 이런게 몇 개 뿐이지만, 유체역학에서는 몇 가지가 더 있어요. 추후에 재미있게 집필해보고 싶군요.  

평행축 정리

만약 우리가 구하는 도형의 단면 2차 모멘트나 관성 모멘트를 구하여야하는데 물체의 도심이나 무게 중심에서 구하지 않고 임의의 다른 곳을 기준으로 하여 구하여야한다면 어떻게 계산해야할까요?

 그래서 필요한 계산방법이 평행축 정리라고 이해하시면 됩니다. 이번에는 단면 2차 모멘트만 간단하게 살펴볼까요?

 이런 상황을 가정해봅시다.  사각형의 단면 2차 모멘트와 그 도심을 구하는 것입니다. 다만 단면 2차 모멘트를 도심을 기준으로 구하는 것이 아닌 임의의 원점을 기준으로 구해봅시다. 

 도심을 기준으로 구할 때보다 약간 다르게 수식이 변경되었습니다. 도심에서 한 변까지의 거리를 x, y로 해서 구하지 않고 도심의 좌표 X, Y가 추가가 되면서 관성모멘트를 구하는 것으로 바뀌었습니다. 적분 기호 속 괄호의 수식이야 완전 제곱식을 전개한 후 하나하나 살펴봅시다. 

 그러면 Ix'과 Iy' 을 구할 때 뭔가 하나 이상한 부분이 있을 겁니다. 

 요 두개가 왜 0이 되었을까요? 단면 1차 모멘트에서 말하지 않고 넘어간 것이 있었습니다. 만약 단면 1차 모멘트를 구할 때 x, y 가 도심을 지나갈 경우 단면 1차 모멘트는 "0" 이 됩니다. 그래서 이 항은 0이 되어 날라가게 되는 것입니다. 

그렇게 되면 남게 되는 것이 다음과 같습니다. 

임의의 좌표에서 단면 2차 모멘트를 구하게 된다면 도심이 임의의 원점에서 얼마나 떨어져 있는지만 알아두면 될 것입니다. 알아봤으니 한 가지만 더 해볼까요? 마찬가지로 사각형입니다. 

 아니 왜 똑같은 사각형인데 왼 쪽은 분모가 12이고 오른쪽은 분모가 3이 되어 있을까요? 이것도 평행축 정리를 이용하면 간단하게 해결되지요. 그럼 그 해결과정을 한 번 알아보도록 합시다. 

 이 수식을 써서 사각형의 밑 변을 기준으로 단면 2차 모멘트를 계산해보도록 합시다. 도심을 중심으로 하지 않았기 때문에 도심 기준의 단면 2차 모멘트랑 다른 값이 나오겠네요. 

  사각형의 밑변은 도심에서  h/2 만큼 떨어져 있기 때문에 이 h/2를 제곱하고 넓이를 곱한 것에 도심에서 구한 단면 2차 모멘트를 더하면 됩니다. 이렇게 평행축 정리를 활용할 수 있습니다. 

  이 그림에서 왼 쪽은 분모가 12가 되고 오른쪽은 3이 된 게 왼쪽은 도심을 중심으로 단면 2차 모멘트를 구한 것이고 오른쪽은 밑변을 중심으로 단면 2차 모멘트를 구하였습니다. 다만 밑변을 중심으로 하면 도심에서 h/2만큼 아래로 이동하니까 그걸 반영해 평행축 정리를 이용한 것입니다. 

단면 계수

 단면 계수는 또 무엇일까요? 단면 2차 모멘트는 정말 뭔가 많이 나오네요. 간단히 말하면 응력과 토크, 응력과 모멘트의 관계식을 구할 때 쓰기 위한 개념정도로 이해해두시면 됩니다. 

원래 단면계수라는 개념이 비틀림 응력과 굽힘 응력을 수학적으로 유도하기 위한 과정에서 나오는 것입니다. 그치만 기계기사 시험에서는 이를 인장응력을 구하는 수식처럼 사용하기 위해서 활용하는 개념이라고 보시면 됩니다. 

 저는 간단하게 사각형을 예시로 들었습니다. 단면계수는 간단하게 단면 2차 모멘트에 최외곽 반지름( 혹은 높이)을 나누어주면 구할 수 있습니다. 

극관성모멘트

 극관성모멘트는 단면을 수직 좌표계에서 보고 계산한 것이 아닌 극 좌표계로 보고 계산한 단면 2차 모멘트라고 보시면 됩니다. 단면이 y축에 x만큼, x축에 y만큼 떨어져 있을 때의 모멘트가 아니라 그냥 단순히 해당 단면이 원점으로부터 얼마만큼 떨어져있을 때 계산한 단면 2차 모멘트라는 뜻입니다. 

 사각형을 단순하게 직교 좌표계에서 본 것이 아니라 극좌표계 형식을 적용하여 계산한 것이기 때문에 x축에 관한 단면 2차 모멘트와 y축에 대한 단면 2차 모멘트의 합으로 나온 것입니다. 

 아마도 극 관성모멘트를 어떻게 써야할 지 헷갈리시는 분들이 많을 것 같네요. 간단하게 정리하자면 극 관성 모멘트는 토크와 전단응력, 비틀림 응력을 계산하실때 적용하면 됩니다. 극좌표계가 회전을 설명할 때 쓰는 좌표계고, 비틀림또한 단면이 회전하는 형태의 변형이기 때문에 그냥 단면 2차 모멘트가 아닌 극 관성모멘트를 적용하게 되는 것입니다. 

 반면 굽힘도 회전이긴 하지만 단면이 회전하는게 아니기 때문에 극 관성모멘트가 아니라 그냥 단면 2차 모멘트를 적용해서 재료역학 문제를 해결합니다.