일반 기계기사 - 단면 1차 모멘트

 정역학, 재료역학에는 단면 1차 모멘트와 단면 2차 모멘트라는 두 종류의 모멘트가 있습니다. 허허 도대체 이 모멘트는 왜 구해야 하는지 참 머리가 아픕니다. 수식도 간단치가 않아요. 

 

 그러면 일단 1차, 2차 단면 모멘트부터 뭐가 뭔지 한 번 파악해보고 알아보도록 해야겠습니다. 우선 이번 포스팅에서는 단면 1차 모멘트에 대해서 파악해보도록 합시다. 

 

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단면 1차 모멘트

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 단면 1차 모멘트란 것은 물체의 "도심"이라는 것을 구하기 위해 활용하는 것입니다. 그렇다면 도심이 왜 필요할까요?

일단 무게에 대해서 한 번 생각해봅시다. 

 

 

이렇게 질량이 m인 상자에 중력이 mg가 작용하고 있다고 가정해봅시다. 그러면 중력은 상자의 어느 부분에 작용하고 있다고 계산하면 정확할까요?

 

 사실 이 그림처럼 저 상자가 무수히 작은 상자들의 합으로 이뤄져 있다면 상자에 작용하는 중력(무게)도 저 작은 상자들의 무게의 총합과 같다고 보면 됩니다. 그렇지요. 그러나 작은 상자들의 무게의 합으로 계산할 경우 그 무게의 크기는 구해지지만 그 무게가 어디에 작용하는지에 대해서 정확하게 찍어낼 수 있을까요?

 

 단면 1차 모멘트는 그런 분포 하중, 중력 같은 부류의 하중이 어디에 정확하게 작용하는지 찾아내는데 필요한 개념입니다. 분포 하중이 어디에 작용한다고 가정해야 힘의 평형 방정식과 모멘트의 평형 방정식을 정확하게 풀 수 있을까라고 생각하시면 되지요. 

 

 일반기계기사에서 평면의 도심을 구하는데 필요한 수식은 다음 그림과 같습니다. 

 

 

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어떤 사고방식으로 이 수식이 유도되었을까?

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 이제부터는 조금 깊은 역학의 이야기가 될 수도 있습니다. 이런 2차원 평면이 있다고 생각해봅시다. 

 

출처 : VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS STATICS , BEER

 어느 평면의 임의의 점을 원점으로 했을 때를 가정해봅시다. 저 책의 저자분들은 임의의 원점에서 도심의 위치를 (bar x, bar y)로 정했습니다.  도심에서 물체의 중력이 작용합니다. 

 이제 모멘트 개념을 여기서 활용해봅시다. 임의의 축을 기준으로 도심에 작용하는 모멘트는 결국 미소 요소들의 중력으로 인해 발생하는 모멘트와 그 크기가 같아야 합니다. 자.. 요 점을 이용하면 도심을 구해볼 수 있을 것 같습니다.

 

 일단 윗 줄의 My의 총합이 어떻게 되는지 생각해봅시다. 임의의 원점을 기준으로 y축을 그었을 경우 도심과 y축간의 거리는 bar x입니다. 그러면 My는 bar x 곱하기 W가 되겠지요. 이것은 임의의 미소 무게 요소의 중력으로 인해 생기는 모멘트의 총합과 같게 됩니다. 즉 시그마 x 곱하기 델타 W입니다.  

 Mx는 위의 My와 같은 방식으로 계산하면 될 것이고요. 여기서 밀도가 균일하고, 중력가속도도 상수라면 다음과 같이 수식이 표현되겠군요. 

 

 

 이렇게 하니 우리가 찾던 단면 1차 모멘트와 도심 간의 관계식을 구할 수 있군요. 

 

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여기서 꼭 가져가야 할 모양들의 도심 위치

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 일반기계기사 공부를 하면서 중요한 도심들은 사각형, 원형, 삼각형, 반원 정도라고 생각합니다. 빈출 되는 도형이기도 하고, 이 도형들을 활용하여 복잡한 계산 문제가 많이 나오기 때문입니다. 

 

출처 : 일반기계기사 필기 대비, 학진북스

 

 이렇게 여러 가지 사각형들을 활용해야 하는 문제가 빈출 됩니다. 이 문제의 경우 사각형이 파여있어서 빼기도 해야 하네요. 여러모로 복잡한 계산 문제인지라 계산기를 두드리기 전에 수식을 잘 활용해야 할 것 같습니다. 어떻게 풀어야 하는지는 잘 서술했다고 생각했기에 따로 더 올리지는 않겠습니다. 혹시 어떻게 풀어야하는지 궁금하시다면 댓글 주세요!