[동역학] 2D 좌표계 (Coordinate System)에 관한 이야기들

 동역학이 어려웠던 이유 중 하나를 꼽자면 "좌표계" 때문이라는 생각이 든다. 물론, 후반부 강체 운동을 다루면 여기서 나오는 수식들이 난해하여 어려웠지만.. 

 

 두 번째로 나를 괴롭혔던 것은 좌표계 때문이었다고 생각한다. 그럼, 좌표계라는게 뭔지부터 일단 알아봐야겠지용?

 

---

좌표계의 종류

---

 

 좌표계는 여러가지 종류가 있다. 우리가 흔히 알고 있는  직교 좌표계, 극 좌표계가 2D 좌표계이며 3D좌표계는 직각 좌표계와 더불어 원통좌표계, 구 좌표계 이렇게 존재한다. 

더 깊게 나아간다면 경로 좌표계란 것도 있다. 또한, 동역학이 점점 발전하면서 Generalized Coordinates 라는것도 등장하게 된다. 내 기억에 마지막의 좌표계는 Lagrange Method와 관련이 있어서.. 일단 흔히들 쓰는 2D 좌표계 세 개만 소개하겠다. 

 

---

직교 좌표계

---

 

 직교좌표계는 우리가 중학교때부터 배웠고 이를 활용했었다. 

 우리가 흔히 알고 있는 이 좌표계가 맞다. 이렇게 해서 점의 위치를 찾는 문제들 풀어본 기억이 다들 있을 것이다. 실제 역학에도 이렇게 좌표계에 대해서 언급해준다. 왜냐하면 이 좌표계를 알아둬야 나중에 벡터라는 것을 더하고 뺄 때 요긴하게 쓸 수 있기 때문이다. 이 좌표계는 물체가 직선 운동을 할 때는 요긴하게 표현할 수 있겠으나, 만약 물체가 돌아버린다면? 표현하기가 아주 아아아주 난해해질 것 같다. 

 

 그렇기에 또다른 좌표계가 있는데...

 

---

극 좌표계

---

 

 바로 극 좌표계다. 이 좌표계는 화살표의 크기를 반지름으로, 화살표의 각도를 세타로 잡고 물체의 위치를 표현한다. 이렇게 하면 직교좌표계로 회전을 표현하지 않아도 되며, 회전운동을 표현하는것이 매우 난해하고 복잡해지지 않을 것이다. 

 

---

경로 좌표계??

---

 

 마지막 좌표계가 조금 생소할 수 있을 것 같다. 왜냐면 이 좌표계는 동역학에서 자주 나오지 않는 좌표계이니까. 간단히 핵심만 말하자면 경로좌표계는 물체가 이동한 경로 자체가 좌표가 되는 것이다. 위의 두 좌표계와 다르게, 경로의 길이만이 점의 위치를 표현하는 것이 된다. 

 

출처 : ENGINEERING DYNAMICS A COMPREHENSIVE INTRODUCTION, 프린스턴 출판부 

 이 그림에서, 저 s만이 점 p를 나타내는 도구가 되는 좌표계이다. 이렇게 하면 편리한게, 벡터도 아닌 스칼라이기 때문에 저 길이만 알면 점 p가 어디에 있는지를 확인할 수 있게 되는 좌표계이다. 하지만, 스칼라로 표현된 좌표계이기 때문에 동역학에서는 그렇게 자주 쓰일 일이 없는 좌표계다...

 

---

왜 좌표계 때문에 동역학이 어려워지는가?

---

 

이렇게 다양한 방식의 좌표계가 있다는 것을 알았다. 그런데, 왜 좌표때문에 동역학이 어려워질까? 그건, 좌표라는게 상황에 따라 필요한 좌표계로 바꿔쓰거나 아니면 변환할 수 있기 때문이다. 그렇기 때문에 좌표를 잘 선택해서 문제를 접근해야 시간을 줄일수 있다. 반대로 좌표를 잘못 선택해서 문제를 풀어나간다면 A4용지 두 장을 넘겨도 문제가 안풀리는 경우도 종종 발생할 수 있다. 

 

 그리고, 좌표계를 바탕으로 Frame이라는게 있다. Frame이라는 건 정역학이나 동역학 문제를 해결할 때 물체의 어느 지점을 원점으로 만든 좌표이다. 프레임의 원점은 물체의 어느 지점일 필요는 없다. 어디에나 프레임의 원점을 지정할 수 있다. 또한 프레임은 그 자체가 속도나 가속도를 가지는 운동하는 물체로 취급할 수 있다. 왜냐면.. 프레임을 어느 물체로 해도 상관은 없기 때문이다. 그래서 물체간의 운동을 표현할 때 운동방정식이 많이 난해해질 수도 있다고 한 것이다. 특히나 이런 좌표계가 운동을 가지거나 회전을 하거나 하는 경우에...

 

---

비법은?

---

 

 안타깝지만, 비법이 없다. 이렇게 프레임을 정하고 운동을 표현하는 것은 본인이 문제를 풀어보면서 숙달하는 것 외에는 딱히 그 방법이 없는 것 같다. 나 또한 처음에는 이 작업이 너무 어려웠었는데, 자꾸 하다보면 요령이 생기게 되었다.  그래서 가끔씩 좋은 문제를 찾고 고민해보면 그걸 올려볼 생각이다. 그러면 어떻게 동역학을 접근하는지 요령을 조금이라도 배울 수 있을거라 생각한다.

 

 마지막으로.. 동역학 열심히 해보자!