안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 저는 경험담과 함께 지식을 이야기하는 것을 좋아합니다. 무슨 말이냐?
많이 알고 있다는 것은 좋은 것이나, 그것을 "활용"할 수 없다면 그런 게 의미가 있을까요? 그저 외우기만 한다면 그런건 의미없는 공부라고 생각합니다. 그래서 블로그 활동을 하면서 여태껏 배워왔던 것 중 사람들이 오해할 만한 것들을 위주로 설명하는 글을 썼고 나름의 성과가 있었다고 생각합니다.
저는 많은 글 중 평균속도에 대한 오해에 관한 글이 제 블로그 글 중 블로그 시작 목적에 가장 부합한다고 생각합니다. 실제로 많은 사람들이 나처럼 처음 물리나 수학을 접할 때 많은 오해를 하기도 했었구요.
그리하여! 이번 포스팅은 많은 사람들이 접해본 적이 있지만 어려워 보이는 "함수"에 대한 이야기부터 차근차근 해보려고 합니다. 단순한 지식 뿐만 아니라 함수에 관해서 어떻게 바라보고 이해할 지, 기계공학 공돌이 눈으로 보고 느낀 것을 위주로 설명 시작하겠습니다!
함수, 구성요소
아마 많은 사람들이 학교를 다니면서 방정식! 함수! 부등식! 그래프! 들을 한 번씩은 봤을 겁니다. 그 만큼 수학의 기초체력이라고 할 수 있는 것이지요. 다 따로따로 놀고 있어 이게 뭐지 하겠지만, 사실 이 네 가지는 한 몸이라고 봅니다. 요즘은 고등학교에서 다항식 → 방정식과 부등식 → 함수 순으로 알려주는거 같던데 저는 좀 다르게 봅니다.
함수 → 다항식 → 방정식과 부등식 순으로 보는게 좋을 거 같지만, 제가 모르는 교육에 대한 무언가가 있어 저렇게 정한 것 같네요. 우선 함수가 뭔지 알아봐야겠죠?
이 그림을 참고하여 설명할게요.
이 그림이 함수를 설명하는데 많이 등장하는 것들 중 하나인데요. 수학 교과서에 있는 언어로 말하면
집합 D의 각 원소에 집합 E의 원소가 각 하나씩만 대응할 때 이 대응을 집합 D에서 집합 E로의 함수 f 라고 하고 기호로는 다음과 같이 나타낸다.
f : D → E
- 출처 : 동아출판 수학교과서 -
뭔가 엄청 어려운 것 같네요. 그렇지만 쉽게 말하자면 " 규칙 " 입니다. 무슨 말이냐면, f라는 규칙을 통해서, 혹은 f라는 수식에 x라는 수를 넣었더니 f(x)가 나왔고 a를 넣었더니 f(a)가 나왔다는 말이 하고 싶은 것이지요.
이 그림에서 함수 f 외에도 중요시 봐야 되는게 세 개 있습니다. 바로 집합 D와 E입니다. 얘네들 중 D는 함수의 정의역이라 부르고, E는 함수의 공역이라고 부릅니다. 그리고 공역 E 안에 f(x), f(a)와 같은 값들이 있을 수 있지요? 그것들은 치역이라고 합니다.
수학 교과서들 중에서는 이렇게 점이 공역 E 안에만 점을 몇 개 더 찍고 정의역, 공역, 치역에 대해설명하는 경우가 종종 있습니다. 이거는 무슨 이야기냐?
정의역이 실수 전체가 아니라 특정 영역에만 국한 되어있다봅시다.
정의역을 실수 전체 중 1, 2에만 국한시켰을 경우 집합 E 값은 4개 중 2개만 함수 f에 의해 대응이 되겠지요. 그 말은, 함수의 치역은 f(1), f(2) 이렇게 두 개지만, 공역은 f(1), f(2), b, c 이렇게 4개인데 그 중 f(1), f(2) 두 개만 함수 f 의 치역에 속해있으니 함수 f 의 치역은 공역 E의 부분집합이 된다 그런 이야기입니다. 일단 지금은 정의역, 공역, 치역 요 세 가지만 무슨 개념인지 알아보도록 합시다. 나중에 이게 중요하게 쓰일 때가 있으니... 그건 그때 가서 다시 설명할게용!
함수를 설명하는 또 다른 그림도 있습니다. 다음 그림인데요..
여기서 f 는 어떤 규칙을 말합니다. X란 값을 f라는 규칙에 넣어봤더니 f(x)라는 값이 나왔다! 라는 걸 표현하기 위해서입니다.
제가 고등학교 시절 배운 것들을 바탕으로 대학에서 과제를 풀고, 엔지니어링 (공학 용역) 관련 회사를 다녀보면서 함수에서 가장 중요한 것을 뽑으라면 바로 f 라고 답할 것 같습니다. 실전에서 필요한 것은 바로 f 를 얼마나 정확하게 만들어내느냐였었거든요. 이 논리를 응용하면 정말..무궁무진하게 활용가능합니다. 다음 장에서 설명할게용!
함수를 만들고 분석하다
f, 함수를 만든다는게 무슨 이야긴지 아직 감이 안잡힐 것이라 생각합니다. 이제 감이 좀 잡히게 해드려야겠네요. 세 가지 문제들을 가지고 말씀을 드리려고 합니다. 세 가지 다 외국에서는 꽤나 유명한 미적분학 교재인 " Calculus 7th edition, James Stewart 의 교재에서 가지고 온 문제들입니다.
우선 첫 번째 이야기할 것은 연도별 이산화탄소 증가 추세입니다. 현재 이대로 계속 이산화탄소가 늘어난다면... 미래에는 얼마나 많은 이산화탄소가 생길까요? 그것에 대한 추세를 어떻게 예측할 수 있을까요? 바로 "함수"를 갖고 예측해볼 수 있습니다.
혹시 함수의 정의가 아직도 잘 이해가 되지 않으시는 분들을 위해.. 여기 이 그래프를 이용해 다시 설명해드리겠습니다. 여기 이 그래프에서 EXCEL에 의해 나온 함수 수식은 y = 1.6543x - 2938.1 이라는 수식이 나왔는데요. 이 수식이 위에서 언급했던 f 이며 "룰" 입니다. 이 수식의 x에 x 대신 1980을 넣으면 y 값으로 이산화탄소 레벨이 338.7 이라는 값이 나오게 됩니다.
과거 과학자들이나 혹은 누군가가 추출한 데이터를 가지고 함수를 만들고 그 함수를 통해 미래를 추측해볼 수 있다는 것입니다. 저 그림은 EXCEL에 데이터를 입력한 후에 차트를 통해 그래프를 그리고, 함수를 표시한 것입니다. 제가 직접 손으로 해결해도 되겠지만, 그러기엔 시간이 너무 많이걸리네요... 어쨋든 EXCEL 프로그램을 활용해 이 그래프와 함수를 추출했으면 이걸 토대로 2010년 2020년도 예측해볼 수 있다는 것이 되겠네요.
또한 두 번째 문제처럼 시간이 지나면서 공을 낙하시킬 때 공은 대략 낙하지점에서 몇 m 떨어진 지점에 있는지도 파악해볼 수 있습니다.
이렇게 실험값을 얻으면 그 실험값을 가지고 그래프를 그리고 함수를 만들고 10초 이후를 예측해볼 수 있습니다. 만약 공이 지면에 도달하는데 걸리는 시간을 알고 싶다면? 이제부터 방정식의 영역이 되는 것입니다. y = 0 을 대입하고 그것을 만족하는 x 값을 구하면 되는 것이지요. 그 x 값은 어떻게 구할까요? 인수분해를 이용해 방정식을 간단하게 풀어서 볼 수 도 있을 것이고, 아니면 근의 공식을 사용해 직접 구해볼 수 있지요. 여기서 알 수 있는게 f라는 함수에 x 값을 넣어 y를 알 수 있다면, 반대로 어떤 x 를 넣어야 특정한 y 값 ( y = 0 이 되게 하는 x의 값) 을 구할 수 있는지도 함수를 통해서 추적이 가능하다는 것입니다. 이게 결국 방정식과 부등식을 푸는것과 같은거고, 그래서 함수 설명하는 서론 부분에서 함수와 다항식, 방정식과 부등식은 한 몸이라고 말했던 것이구요.
세 번째는 직접 함수를 만들어보는 것입니다.
다들 육면체의 부피 구하는거 정돈 아시잖아요? 그래도 혹시 모르니 친절하게 그림을 그려서 어떻게 계산하는지 해봅시다. 문자 계산 그거 어려운 것도 아니에요!
일단 전개도를 확대해본 그림입니다. 이 전개도를 통해서 가로와 세로의 값은 대략 구했습니다. 높이는 당연히 X 겠죠. 왜냐면 이 육면체 조립도를 보시면 바로 이해가 되실 것입니다. 부피는 가로 X 세로 X 높이로 구하시면 됩니다.
이 육면체의 조립도와 X 를 사용해 표현한 v 값입니다. 이걸보면 선택하면 안되는 X 값이 바로 나오죠. 0, 6, 10을 선택할 경우 V 가 0이 되어버리고, 0이 되는 부피는 원하는 부피가 아니기 때문에 X가 0, 6, 10은 절대절대 선택하면 안됩니다. 인수분해가 되어있는 수식을 가지고 빠르게 값을 예측해 볼 수 있었습니다. 그리고 이 함수의 추세선도 구할 수 있는데요.
대략 이렇게 그래프가 나옵니다. 위에 수식은 부피 함수구요. 이 그림을 보면 선택할 수 있는 x값은 얼마인지 정확히 알 수 있으며, 최대값이 대략 어느정도 위치에서 나오는지도 한 눈에 파악할 수 있군요.
이렇게 세 가지 예제들을 통해서 함수를 어떻게 사용하는지 대략적으로 감이 오실 것 같습니다. 함수보다는 함수를 만들고 이를 그래프를 통해 어떻게 분석하는지가 중요합니다. 함수.. 어렵게 생각하지 마세요! 그저 단순한 룰을 이용하는 것일 뿐입니다.
마무리..
저는 함수에 대한 글을 쓰면서 함수에 대해서 어렵게 생각하지 않았으면 좋겠습니다. 한국의 주입식 공장식 교육때문에 함수에 대해서 고민해보고 활용해봐야 수학을 좀 더 재미있게 접근해볼 수 있을텐데 그러질 못해 안타깝더군요. 그 짧은 기간동안 미적분에 벡터까지 다 마스타하려고 하니 허허허...
다시 한 번 이 글을 요약하자면... 함수라는 것을 어렵게 보지 말고 하나의 룰이라고 생각하면 마음이 편해질 겁니다. 그리고 회사 생활을 하고 저처럼 엔지니어링 용역을 하게 된다면 이 함수.. 함수를 만드는 것이 굉장히 중요한 일이 될 겁니다. 사실 함수를 알기 위해서, 하다못해 유의미한 데이터라도 얻어가기 위해 수십억씩이나 되는 돈을 쏟아부어가며 회사들이 시험을 하는 것이나 마찬가지지요.
이런 숫자와 문자뿐만 아니라 실생활에서도 함수가 쓰인다고 합니다. 자동차에는 차량 고유의 차대번호라는게 존재하는데 그 차대번호도 함수의 메커니즘을 그대로 활용하는 것이더군요. 그 외에도 정말 제가 모르는 다양한 분야에 활용이 될 수 도 있겠네요...
마지막으로! 이 포스팅에서 다루는 부분 외에도 제가 생각하지 못했거나, 함수가 어려운데 어떻게 더 쉽게 접근할 수 있을지... 다른 생각해볼 만한 부분이 있을 수 있습니다. 그래프를 추출한 데이터는 포스팅 첨부자료로 올려두도록 하겠습니다. 혹시나 모르는게 있거나 더 생각해보고 싶다, 토론해보고 싶다면 댓글로 문의해주세요. 언제나 환영입니다!