꿀잼 기계항공공학

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 티스토리에 다시 오랜만에 역학에 관련된 이야기를 해보는군요. 철의 열처리 이야기만 하다가  한 번쯤은 다른 이야기를 해보는 것도 좋을 것 같아 주제를 바꿔서 이야기를 해보도록 하겠습니다. 

 이번 이야기는 역학에서 가장 기본 중 하나인 뉴턴 법칙에 대해 이야기를 짧게하려고 합니다. 어쩌피 뉴턴 법칙은 많은 예제와 많은 연구가 되어있는 만큼 제가 할 이야기는 많이 없을 것 같아요. 다만 다수의 사람들이 정리하지 않은 뉴턴 법칙의 한계점과 그 극복에 대해서 말해보려고 합니다. 

뉴턴의 1, 2, 3 법칙의 전제 사항

 뉴턴의 법칙은 중학생들도 다들 알 정도로  중학교 과학에 일찌감치 등장하는 내용입니다. 이렇게 빨리 배운다는 것은 그 만큼 누구나 알아야할 정도로 중요한 내용이라는 뜻이죠.  그렇지만 대다수의 사람들이 뉴턴의 법칙은 사실만 외울 뿐 어떤 상황에서 적용되는지는 잘 모르는 경우가 많은 것 같았습니다. 

 우선 뉴턴의 법칙은 점질량의 합력과 운동량의 관계에 대한 것이란 걸 알아야합니다. 

     -  점질량은 부피가 없고 질량만 있는 점임.

즉, 힘을 받는 물체가 점질량임을 알고 뉴턴의 법칙을 활용해야하는 것이죠. 만약 점질량이 아닌 강체라면 강체역학으로 물체의 운동을 해석하면 됩니다.  혹은 유체의 움직임을 분석하겠다고 하면 나중에 말할 검사 체적 개념으로 접근하시면 됩니다. 

그럼 이제 뉴턴의 법칙 3가지를 짧게 이야기하도록 하겠습니다. 

1. 관성의 법칙

 관성의 법칙은 모두가 알고 있듯이 정지하는 물체는 계속 정지하려고 하고 등속 운동하는 물체는 계속 등속운동을 한다는 법칙을 말합니다. 이야기의 뜻은 그렇게 어렵지 않습니다. 다만 관성과 헷갈리는 관성력이라는 개념은 여기서 정리해야할 듯 합니다. 

 관성이라는 것은 물체가 계속 그 상태를 유지하려는 성질을 말하는 것입니다. 반면 관성력이라는 개념은 원래는 존재하지 않는 힘이지만 물체 운동상태가 갑자기 변하면서 생기는 힘을 말합니다. 또는 구심력이 작용하는 물체 위에 정지 상태로 가만있는 물체가 받는 원심력도 관성력에 해당하지요.  

 즉, 관성과 관성력을 구분할 줄 안다면 뉴턴의 1 법칙은 크게 어려운 사항이 없다고 말씀드릴 수 있습니다. 

2.  힘, 질량, 가속도의 관계

 F = ma 라는 수식으로 유명한 2법칙입니다. 저는 정확히 요렇게 쓰는 것을 권합니다. 

이렇게 쓰든 F=ma라 쓰든 넓게 보면 틀린 것은 아니나  F=ma라고 쓰면 마치 질량이 변하지 않는 것 처럼 느껴지기 때문이죠. 사실 역학에서는 보는 관점에 따라 질량이 변하는 경우도 있다는 거 참고 하시기 바랍니다. 그런 문제들을 만났을 때 제가 권하는 방식으로 접근해야 고민하는 시간을 줄일 수 있을 겁니다.  그런 예시를 몇 개 들자면 우선 물체가 광속에 가까운 속도로 이동할 경우 질량이 변할 수 있습니다. 그리고 로켓이 발사될 때 역시 질량유량이라는 게 존재하고 이 때 로켓의 질량은 시간이 지나면 줄어드니까 질량이 변한다고 볼 수 있겠지요? 

3.  작용 반작용의 법칙

 작용 반작용은 프린시피아에 있는 그대로 옮겨오면 다음과 같습니다. 

"모든 작용(힘)에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 수반된다. 두 물체 사이에 교환되는 힘은 항상 그 크기가 같고 방향은 반대이다. " 라는 뜻입니다. 이 작용과 반작용을 이런 예시로 많이 이야기합니다. 

1. 지구가 나를 당길 때 

2. 나 또한 지구를 같은 힘으로 당기고 있다. 

요렇게 이야기를 합니다. 

 아니면 두 물체가 충돌했을 경우에도 이 법칙을 이용해 문제 해결을 많이 하죠. 

4.  2법칙과 3법칙의 예시

이 2 법칙과 3법칙을 쉽게 설명할 수 있는 것을 찾아봤습니다.  

 위 그림 처럼 두 물체가 실에 연결된 상태로 3kg 인 물체에 10 N이라는 힘을 작용해봅시다. 그러면 두 물체는 연결되어 있고 하나의 물체로 움직인다고 가정하면 

2 법칙의 수식에 의해 다음과 같이 표시됩니다.

여기서 dv/dt는 가속도입니다.  그럼 이 수식을 통해 두 물체는 각각 가속도 2m/s^2만큼 작용함을 알 수 있습니다. 

두 물체의 FBD 을 그려보면 위 그림과 같습니다. FBD에 관한 이야기는 여기 포스팅을 참고해주세요.  ①의 물체의 FBD는 오른쪽으로 장력만 작용합니다. 장력의 크기는 아까 위에서 구한 가속도를 이용하면 구할 수 있습니다. 2m/s^2이었으므로 4N이 되겠네요. 

②의 3kg 물체는 오른쪽으로 10N의 힘과 함께 왼쪽으로 장력 4N이 작용합니다. 10N의 힘과 4N의 힘은 한 물체에서 작용하고 있습니다. 두 힘은 같은 작용점에 위치하고 있기 때문에 연산이 가능합니다. 그러면 3kg의 물체는 10 - 4 = 6 N 이라는 계산결과가 나오지요. 이 계산결과는 질량 x 가속도를 한 값과 같습니다.  이 물체를 통해서 실습할 수 있는게 2 법칙과 3법칙에 대한 내용이죠. 2법칙이야 수식을 적용하면 된다 치고 3법칙은 어떻게 이해할 수 있을까요? 

 저는 이 문제에서 3법칙은 두 물체에 연결된 실을 통해 확인할 수 있다고 봅니다. 3kg 물체와 2kg물체는 실로 연결되어 있는데 3kg의 물체에서 10 N의 힘을 받음과 동시에 오른쪽으로 이동하지요. 근데 3kg의 물체는 실로 연결되어 있습니다. 2kg의 물체와 함께요. 그러면 2 kg의 물체에도 실을 통해 영향을 주게 됩니다. 그 때 2kg의 물체에 4N의 힘을 작용하게 되고 반대로 3kg의 물체에도 4N의 힘이 왼쪽으로 발생하게 되는 것이죠. 그것 때문에 원래 10 N의 힘이 4N만큼 감산되어 6N이 된 것이고요. 

 추가로 이 문제를 이해하는데 중요한 개념인 장력을 하나 이해해두면 좋겠네요.  장력은 실을 당길 때 생기는 힘입니다. 실이나 케이블에 물체를 연결하고 당기면 실이 탱탱해지면서 물체를 당기게 되겠죠. 그 때의 힘이라고 생각하시면  됩니다. 

 장력은 특징이 있습니다. 하나의 실에서 발생한 장력은 그 크기가 모두 같다는 점입니다. 위 그림처럼 벽에 붙은 실을 T 라는 크기의 장력으로 왼쪽으로 당기면 벽 또한 실을 반대방향으로 T 만큼 당기게 되는것과 같습니다. 사실 실이 양쪽으로 T 만큼 당겨져야 실 전체에 작용하는 합력은 0 이되어 안움직이기 때문에 이렇게 되야 합니다. 장력은 실, 케이블 외에도 트러스 구조물에도 나오는 힘이니까 기계공학과 분들은 꼭 기억해두시기 바랍니다. 

5.  한계..그리고 그 극복!

 뉴턴의 법칙은 기계공학에서 광범위하게 쓰이는 이론입니다. 유체역학, 재료역학, 기계설계에서 정말 지겹도록 쓰이고 있습니다. 이 법칙은 지구상에서는 맞을 수 있습니다. 허나, 지구가 아닌 다른 곳에서도 이 법칙이 맞아떨어질까요? 우선 그 첫 번째 경우가 물체가 광속으로 움직일 경우입니다. 

 이 때는 뉴턴의 법칙이 성립하지 않습니다. 물체가 광속으로 움직일 때는 뉴턴의 법칙이 아니라 아인슈타인의 상대성 이론을 적용해야합니다.  

 상대 속도를 구할 때를 생각해봅시다. 자신을 기준으로 상대방의 속도를 본 것이기 때문에 상대속도는 상대방의 속도 - 나의 속도라는 방법으로 계산하면 내가 본 상대방의 속도가 나오죠. 그런데 만약 이 방법이 광속 그 이상일 경우에도 통할 수 있을까요?  결론만 이야기하면 그럴 수 없다는 겁니다. 간단히 말하면 광속은 물체 운동 속도의 상한선이기 때문에 상대속도는 광속 이상이 될 수 없고 광속이 상수로 결정되었기 때문에 시간과 공간을 다시 정의해야한다는 겁니다.

( 참고로 광속이 상수로 결정된 건 맥스웰이 아인슈타인 이전에 자유 공간에서의 빛의 속력이 3x10^6임을 증명했기 때문입니다. ) 

광속이 상수이므로 변해야하는건 공간과 시간이라는 뜻이죠. 왜 광속이 상순데 변해야하는게 시간과 공간이 되느냐면...

속력은 일반적으로 이동거리/시간으로 계산하잖아요? 그런데 속력이 상수라면 그 거리나 시간이 변함으로써 일정한 값을 유지하는것이 맞다는 것이죠.  그래서 뉴턴의 2 법칙에서 운동량이 다음과 같이 보정되어야한다는 겁니다. 

보정계수 감마는 로런츠 인자(Lorentz factor)라고도 합니다. 

기계공학에서의 물체 속도는 광속에 비해 한참 느리기 때문에 1에 거의 가깝습니다.  이 보정은 아마 광속에 가까운 수준으로 가속된 전자나 원자에 적용해야할 것 같네요. 이것이 아인슈타인의 특수 상대성 이론의 일부고, 이 특수 상대성 이론을 발전시켜 중력의 기하학적으로 해석한 것이 바로 일반 상대성 이론입니다. 

그리고 뉴턴역학은 눈에 보이지 않는 작은 세계, 원자의 세계에서도 딱 들어맞지 않았습니다.  우선 뉴턴의 역학으로는 불연속적으로 에너지를 발산하는 전자의 움직임을 설명할 수 없다는 것입니다. 전자가  원자주위를 지구와 달 처럼 돌게 된다면  전자가 원자핵으로 떨어져야하는데 그렇지 않다는 것과 전자의 궤도 반지름이 특정값의 정수배 만큼만 존재한다는 것입니다.

그런 현상을 뉴턴 법칙으로 설명할 수 없었고 그렇게 나온것이 바로 양자론이죠. 양자론에 대해서는 저도 딱 일반물리학 수준으로만 알고 있음으로 설명은 여기까지만 하겠습니다.