꿀잼 기계항공공학

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다!

정역학 이야기를 너무 오랬동안 안했네요 허허허...이번에는 드디어! 정역학 이야기를 좀 해보려고 합니다. 저는 역학을 너무 좋아하기에... 이번 포스팅은 행복하게 해보겠습니다!

참고자료

 본문의 문제는 VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS STATICS 10th 의 연습문제 7.29번을 참고하여 풀이 만들었습니다. 

문제에 대한 풀이

참고 자료의 7.29에 대한 내용을 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 우선 좌표 방향을 설정해줍시다. 저는 늘 위쪽방향을 +y, 오른쪽 방향을 +x 로 둡니다. 이렇게 하는게 습관이 되어서 그렇게 문제를 푼답니다. 

  단위 하중 문제는 단위 하중을 하중으로 변경해야합니다. 정역학에서 나오는 단위 하중은 단위 길이당 하중의 크기를 나타내는데요. 단위 하중은 길이를 곱하면 하중으로 변환할 수 있습니다. 이 상황에서는 우선 하중만 필요하니까 P=wL로 표기한 후 하중의 위치는 L/2 로 두었습니다. 하중의 위치 정하는 것은 이전에 언급했던 도심 개념을 이해하면 바로 하중의 위치를 정할 수 있습니다. 이 문제에서는 하중이 일정한... 사각형 형상인데 사각형의 도심은 중심부에 위치하므로 L의 중심부인 L/2에 두었습니다. 이 다음 문제인 7.30에서는 삼각형으로 단위하중이 표기되는데 그런 경우에는 하중의 위치를 삼각형의 도심에 두면 됩니다.  다음 포스팅에서 자세히 언급하도록 하겠습니다. 

Step 2는 B 지점의 반력을 구하는 과정입니다. 이건 쉽죠?

Step 3는 B 지점의 모멘트를 구하는 것입니다.  이것도 쉽지요?

Step 4 부터는 S.F.D를 그려봅시다. S.F.D는 Shear Force Diagram이라해서 전단력 선도라고 하는 것입니다. 이 그림을 그리는 능력... 별거 아닌거 같지만 나중에 꼭 필요한 것이니까 여기서 확실히 마스터해봅시다!

 저는 S.F.D의 시작점을 A점으로 정했습니다.  시작점을 어디다 정하는지는 본인이 맘대로 정하시면 됩니다. 단, 부호가 달라질 수 있으니까..부호 잘 설정해야합니다. 부호는 풀다보면 헷갈려서 잘 틀리니까요.

 이건 임의의 X 지점에서 V(전단력)의 함수를 구하는 과정입니다. 임의의 x 길이에서 하중은 wx로 표현이되며 이 하중과 V라는 하중의 식을 통해 전단력의 함수를 구할 수 있습니다. 아래 그림처럼요. 

 이렇게 함수가 구해지면 그림은 바로 그려낼 수 있습니다. 

 여기서 주의할 것은 A 점을 시작으로 함수를 그렸지만, x가 L인 지점에서는 반력이 적용됩니다.  반력이 작용해야 전체 보에서 하중은 0이 되며 이를 수식으로 표현한 것입니다. 그리고 위 그림에서 x=L인 지점의 함수값을 불연속값으로 만들었는데 이렇게 해야 x=L인 지점에서 0이 된다는 것을 표현하려고 한 것입니다. 고등학생 시절 배운 불연속 개념을 여기 적용했습니다. 

B.M.D (Bending Moment Diagram)도 S.F.D와 같은 방식으로 해결하면 됩니다. 

굽힘 모멘트 역시 x=L인 지점에서 반력으로 작용하는게 있기 때문에 빼줘야합니다. 그래야 x=L, 즉 B 지점에서의 모멘트 역시나 0이 되니까요. 

 이 풀이는 단위하중과 하중간의 관계식을 이용해 문제를 해결하는 방법입니다. 눈치가 빠르신 분들은 단위 하중이 왠지 하중과 어떤 수식 관계에 있을 것이라는 생각을 하셨을 텐데... 맞습니다. 이 내용은 참고자료로 쓴 책의 373 페이지에도 자세히 나와있습니다. 

이 수식을 한 번 자세히 보도록 할까요?

C점과 C' 지점은 아주 미세한 간격을 가진 지점으로 가정한 것입니다. 이 상태에서 두 지점들의 힘과 모멘트의 수식을 정리하면 아래그림과 같습니다. 

 위의 V와 w 간의 내용은 이해하는데 어려움이 없을 거라 생각합니다. 하지만...

 여기는 좀 어려울 수도 있는데.. 요약하면 w는 같이 곱해진 △x 가 0이 되어버리는 바람에 소거되어서 결국 V와 M만 남는 관계식이 되는 것이지요.  

 즉, 이 두 관계식 V와 w의 관계, 그리고 M과 V의 관계식이 이렇게 증명되며 두 개의 관계식을 잘 이용하면 보 (Beam)문제를 적분을 이용해 쉽게 해결할 수 있다는게 요지입니다.  같은 원리로 모멘트도 적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 

 적분을 이용해 V, M의 함수를 구하고 x=L 지점에서  반력과 반력모멘트의 영향을 고려해 선도를 그리면 문제는 쉽게 해결할 수 있습니다.  이제 다음 번 포스팅은 단위하중이 간단한 형상이 아니라 복잡한 삼각형 형상일 경우 어떻게 해결해야할 지 한 번 도전해봐야겠네요!

 안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 이번 포스팅은 Beam (보)에 대해 간략히 알아보려합니다. 흔히들 보라고 하는 구조물에 하중이 작용할 경우 어떻게 접근하는지 알아봅시다. 

정정보란?

 일단 보 부터 먼저 말을 해야겠네요. 보란 수직 하중에 대해 버텨주는 구조물을 말해요. 보통 이런 경우를 보라 합니다. 

여기서 F는 하중으로 단위는 N 이고, w는 길이당 하중으로 N/m입니다. 

 그럼 정정보라는건 뭘까요?

 위 세가지 모양의 보를 정정보라고 합니다. 정정이라는 뜻은 보에 작용하는 힘과 모멘트의 평형 방정식을 이용하면 반력 지점에 작용하는 힘과 모멘트를 구할 수 있다는 뜻입니다.  저 세 가지 형태에서는 두 방정식만 가지고도 반력이 작용하는 지점의 반력을 정확히 구할 수 있다는 뜻이기도 합니다. 

  단순보와 돌출보에서 오른쪽 반력 지점 ( 세모 아래 동그란게 세 개 있는거랑 동그라미 )는 y 축 반력은 존재하지만 x 축 반력은 존재하지 않는 반력 지점이라는 뜻입니다.  정확한 명칭은 롤러구요. 더 자세한 건 여러분들이 가지고 있는 정역학 책에 나와있지요. 

 그럼 정정보 중에서 단순보에 단순 하중이 작용할 경우 어떻게 접근하는지 알아보도록 할까요?

단순보에 단순 하중이 작용할 경우

이 부분만 잘 이해한다면 앞으로의 문제들을 쉽게 해결할 수 있지용 

 정정보 문제에서 가장 중요한 것은

 1. 평형 방정식을 세우고 반력을 구한 후

 2. 반력을 가지고 전단력 선도 (SFD)와 굽힘 모멘트 선도 (BMD)를 그릴 함수를 만드는 것입니다. 

  이렇게 힘의 평형 방정식과 모멘트 평형 방정식을 풀어서 반력 지점의 반력을 구하는 것입니다. 이 반력들은 꼭 필요한 값들입니다. 왜? 이 반력을 알아야 함수 시작점이나 함수 값을 알 수 있기 때문이죠! 

  반력만 구하면 재미 없겠지요? 그 다음 과정이 가장 중요하다고 생각합니다. 왜냐구요? 

 이 다음 과정에 나오는 SFD/BMD ( 전단력 선도/ 굽힘 모멘트 선도 )를 작성하는 방법을 완전히 이해하고 있어야 재료역학을 배울 때 편안하게 공부할 수 있어요. 이걸 이용해서 더 어려운 문제들을 풀어내는게 있거든요.

 아마도 V, M, x 때문에 머리가 좀 아프실 것으로 생각됩니다. V는 전단력 함수, M은 모멘트의 함수값을 이야기합니다. x는 0과 L( 보 전체의 길이 ) 사이에 있는 실수입니다. 아마 x 가 윗 장에서는 0~1/2 L사이에 있는거랑 1/2 L과 L 사이에 있는 두 가지로 나뉘어 푼 이유가 궁금하실 텐데요. 그건 1/2L 에서 불연속적인 함수값의 변화가 있기 때문입니다. 이 지점에 무슨 일이 생기지요? 이 지점에서 F라는 힘이 아래로 작용하고 있기 때문에 불연속적 변화가 생긴거고, 그래서 불연속적 변화가 생기기 전과 후에 함수값이 어떻게 나오는지 분석하고 두 가지를 통합해서 함수로 뽑아낸 계산과정입니다.  

 이 두 선도를 비교해보면... 눈치 빠르신 분들은 바로 눈치채실텐데요. 두 함수의 관계는 아래 식을 만족합니다. 

 이 수식이 의미하는 바는, 굽힘 모멘트를 미분하면 전단력 함수가 나온다는 뜻이지요. 요 관계도 나중에 요긴하게 써먹을 수 있습니다. 재료역학에서요. 

마무리

 일단 단순보에서 간단한 케이스 하나를 가지고 설명한 것 같네요. 하지만, 아직 안 끝났지요. 나머지 정정보 두 가지 케이스랑 여러가지 하중이 작용하는 경우 어떻게 대처해야할지에 대해서도 포스팅해봐야겠지요? 그래야 재밌으니까요 허허허...