꿀잼 기계항공공학

 안녕하세요! 공돌이인생무상입니다. 이번 포스팅에서는 단면 1 차모멘트에 이어서 단면 2차 모멘트에 대해서 이야기해보려고해요. 

단면 2차 모멘트? 1차와 다른 점은?

 참 사람 머리 아프게하는군요. 단면 1차는 뭐고, 단면 2차는 대체 무엇이기에 이렇게 구분을 해두는 것일까요?

 단면 1차 모멘트와 2차 모멘트는 엄연히 다른 개념입니다. 저번 포스팅에서는 단면 1차 모멘트가 도심을 구하는 도중에 얻어진 것이었다고 말씀드렸습니다. 이번에 구하는 단면 2차 모멘트는 굽힘과 비틀림에 대한 단면의 성질을 표현하기 위한 수학적인 표현이라고 알아두시면 됩니다. 

 일반물리학과 동역학에도 관성모멘트라는게 나옵니다. 관성모멘트를 사용하는 이유는 뉴턴의 법칙과 비슷하게 만들기 위함이라고 보시면 됩니다. 

 이렇게 보면 뉴턴의 2 법칙과 모멘트의 수식이 비슷함을 알 수 있습니다. 

동역학에서도 이렇게 비슷하게 만들어두었다면, 재료역학에서도 단면 2차 모멘트라는 것을 만들어 인장 압축 응력과 똑같이 사용하려고 한 것이 아닌가 생각해볼 수 있겠습니다. 

 그래서 단면 2차 모멘트는 뭔가 물리적 의미를 찾고 이해하려는 것 보다는 동역학의 관성모멘트 처럼 뭔가를 대체하기 위해 만든 개념이라고 보면 될 것 같습니다.  동역학에서의 관성모멘트가 질량이었다면, 재료역학에서 단면 2차 모멘트는 굽힘, 비틀림의 강성을 표현하는 것이라고 보시면 될 것 같습니다. 

이걸 어떻게 계산하지?

 단면 2차 모멘트와 동역학의 관성 모멘트를 구하는 수식은 다음과 같습니다. 

 단면 2차 모멘트도 동역학에서 나오는 관성모멘트와 마찬가지로 제곱 항이 들어갑니다. 다만 둘의 차이점은 이겁니다. 단면 2차 모멘트는 비틀림, 굽힘을 받는 물체의 단면에 대해서 계산을 하는 것이기 때문에 dA로 계산을 한다면 동역학의 관성모멘트는 강체 내부의 질량 m 을 가진 입자를 고려해서 강체의 관성모멘트를 구하기 때문에 수식이 좀 달라졌습니다. 그것 외에는 두 식이 거의 비슷합니다. 

 또한 강체나 도심 이외에 지역에서 관성모멘트를 구할 경우 둘 다 "평행축 정리"라는 계산방법을 도입하여 계산하여야 하며 그 수식 또한 거의 비슷함을 알 수 있습니다. 

 복잡한 도형들, 복잡한 그림들은 이 수식을 적당히 활용해서 구할 수 있지만, 기계기사를 준비하는 입장에서는 굳이 그렇게 자세히 이해할 필요는 없다고 생각합니다. 단순한 도형들 위주로 외워주시면 됩니다. 사각형, 삼각형, 원 요 세개정도만 잘 외워둬도 충분합니다. 아, 그리고 이 단순한 것 이외에도 평행축 정리에 대한 이야기도 꼭 하고 넘어가야 할 것 같네요.

 그리고 재료역학의 관성모멘트에서는 파생되는 것들이 많이 있습니다. 회전반경과 단면계수, 극 관성모멘트, 극 단면계수입니다. 그것에 대한 이야기는 때가되면 다시 정리해서 올리도록 하겟습니다. 

 일반물리학에서 그 내용이 그렇게 어렵지는 않은 상대속도! 하지만 상대속도라는 개념이 역학의 여러분야에서 종종 활용되기도 합니다. 주로 ... 문제를 풀고 해석하는 쪽이지요. 

 이번 포스팅에서는 상대속도의 개념이 뭔지, 그리고 어떻게 활용되는지 한 번 깊게 고민해봐용!!

상대속도란??

 상대속도란 관측자의 관점에 따라 계산하는 속도입니다. 이렇게 계산해봅시다. 

 이런 그림을 생각해봅시다. 그럼 A가 B를 봤을 때 A는 B가 몇 m/s로 움직이고 있는 것으로 보일까요?

5m/s로 보일것입니다. 왜냐면 A는 가만히 있으니까요. 그런데 만약 A가 움직일 경우에는 B가 어떻게 보이게 될까요??

 이번에는 A가 2m/s로 움직인다고 가정해봅시다. 그럴 경우 A는 어떻게 B가 보일까요??

 그러면 A가 움직이고 있는 그 속도는 빼주어야 간단하게 비교할 수 있겠지요? 그럼 B에 속도에서 A의 속도만큼만 빼주면 A가 보는 B의 속도가 되겠지요.  간단히 그림으로 나타내면 다음과 같습니다. 

 위 그림은 A의 속도를 빼고 B의 속도를 바라봤을 때를 나타낸 것입니다. 즉 상대속도란 누군가를 기준으로 했을 때 관찰되는 상대방의 속도를 표현한 것이라고 볼 수 있지요. 그럼 이런 상대속도가 기계공학에서는 어떻게 활용이 될까요? 어느 역학에서 자주 사용이 될까용??

어느 분야에서 사용되는가?

 아마 기계공학에서 뽑자면 유체역학과 동역학에서 활용이 많이 되지 않을까요? 실제로 그렇습니다. 그럼 어떤식으로 이용이 될까요?

 이 그림 중 (b)의 Reflected Expansion Waves의 그림을 주목해주세요. 기체역학이라는 분야에서 쓰는 것입니다. 충격파가 벽에 반사되어 움직이면 충격파가 움직이는 속도도 고려해서 계산을 해야하는 데 그러려면 상대속도라는 개념을 활용하여야합니다. 음.. 충격파 이야기는 언젠가 때가 되면 다시 이야기해야겠네요...

 이 문제는 밑에 바퀴 달린 물체가 V_0 이라는 속도로 움직이고, 이 물체에 부딫치는 유체가 V_1 속도로 움직이면 그 때 물체에 작용하는 수레의 힘을 구하는 것인데요. 이것은 유체 속도 이외에도 수레의 속도도 고려해야하는데요. 왜냐면 수레가 움직이게 되면서 빠지는 유량이 있기 때문이에요. 수레 속도를 같이 고려하면 헷갈릴 수 있으니 아예 수레 속도는 빼놓고 계산을 하는게 편하겠지요. 그래서 상대속도를 활용해야합니다. 

마치며...

 아직은 블로그에 쌓인 정보가 적어서 상대속도의 활용에 대해서 좀 더 자세히 설명하지 못했습니다. 기회가 되면 좀 더 보완을 해보고 싶네요. 상대속도 이외에도 다양한 개념들이 기계공학과 물리학에 있습니다. 저는 꾸준히 꾸준히 기계공학, 그리고 기사 공부를 하며 풀이를 재밌게 할 수 있다면 그렇게 해보고 싶습니다. 

 안녕하세요! 공돌이인생무상이에요. 이번 포스팅은 물리에서 상식으로 통하는 뉴턴의 제 2법칙에 대해서 상세하게 해석하고 생각해보는 포스팅을 작성해보려고 합니다. 

 뉴턴의 제 2법칙은 간단히 말하면 F=ma 라고 외우고 다니던 분들 많았지용? 그렇지만, 뉴턴의 제 2법칙 사실 그렇게 간단하게 생각할 수 있는게 아닙니다. 과연 원래는 어떻게 서술되어있었는지 한 번 볼까요?

뉴턴의 제 2법칙의 원형

 본래 형태는 뉴턴이 작성했던 책 프린시피아(Principia, 번역제목 : 자연철학의 수학적 원리)에 서술되어 있습니다. 그럼 프린시피아의 원래 서술은 이렇습니다. 

∑F = dp/dt 

이 수식은 외력의 총합은 dp/dt 즉, 운동량의 시간 변화율과 같다는 것입니다. 물리 시간에 운동량이란 mv(질량 x 속도)라고 배웠었지요. 즉... 이 식을 다시 서술하면 

∑F = d(mv)/dt 

로 다시 변환할 수 있습니다. 대부분의 물리 서적들은 그냥 F=ma라고만 간단히 말을 합니다. 자세히 서술하기엔 종이 양이 많이 나가게 되지요. 그리고 한 가지 이유가 더 있습니다.

왜 F=ma 라고만 소개하지?

 제 생각에 이걸 이해하기 위해서는 뉴턴의 운동 법칙이 어떠한 가정을 가지고 있는지 알아야 합니다. 뉴턴의 법칙에서 가정하고 있는건... 고등학교 물리 시간에 배웠을 때는 가정에 대한 이야기가 없었습니다. 하지만, 대학에선 그걸 알려주지요. 뉴턴의 법칙에 중요한 가정은... " 외력이 작용하는 물체는 질점으로 가정한다." 입니다. 질점이란게 뭔가요? 라고 물을 수 있는데요. 질점이란 것은 부피 없는 점입니다. 즉, 뉴턴의 법칙은 물체를 점으로 가정해서 운동을 서술한다는 것이지요. 고등학교나 일반물리 초반의 내용은 이 질점의 질량이 시간에 따라 변하지 않기 때문에 이 수식을 간단히 표현해도 상관이 없습니다. 우리가 일반적으로 외웠던 그 내용...

F = m(dv/dt)

라고만 말을 해도 상관은 없는 것이지요. 왜 기호 ∑는 없느냐? 외력은 하나만 작용한다고 가정하기 때문에 굳이 외력의 총합이라고 말하지 않아도 상관이 없는 것이지요. 

 앞으로 물리를 꾸준히 공부하고 더 깊게 활용해볼 생각이 있으신 분이라면 F=ma라고만 간단히 외우는 것 보다는 원본의 내용 ∑F = d(mv)/dt 로 이해하는 것을 추천드립니다. 왜냐면 이걸로 알아둬야 앞으로 활용할 유체역학, 재료역학 등 다양한 역학에서도 고민하지 않고 즉시즉시 활용할 수 있습니다.

이 내용을 어떻게 활용해보나??

 그럼 이제 이것이 어떻게 활용되는지 직접 보여주면 되겠지요.   

 아래 사진은 VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS DYNAMICS 10 TH 에 수록된 샘플 문제입니다. 

 이 문제가 적절해보이네요. 우리가 새로 적용할 뉴턴의 제 2법칙에 말이지요..! 이 문제는... 외력을 추적하는 것인데요. 평범한 질점이 아닌 유체일 경우에 해당합니다. 그럼... 자유물체도를 그려봐야겠네요.

위 그림들은 자유 물체도(Free Body Diagram)를 그리는 것에서 부터 시작하여 수식을 만들고 그 다음 계산을 하는  것 까지 한 것입니다. 

마치며...

 저는 이 문제를 푸는 것이 중요한 것이 아니라, 뉴턴의 제 2법칙을 잘 쓰기 위해 어떻게 이해할 것인지를 논하려고 포스팅을 한 것입니다. F=ma 식의 암기보다는, 기본적인 수식의 이해가 중요하다 생각해요. 그래서 다양하게 활용하기 위해서는 뉴턴의 2법칙의 원형을 이해하고 이를 활용하는것이 더 유익하다 이런 것입니다.

 그럼 즐거운 물리학...또 즐겁게 생각하고 고민해보자구용!!

 동역학이 어려웠던 이유 중 하나를 꼽자면 "좌표계" 때문이라는 생각이 든다. 물론, 후반부 강체 운동을 다루면 여기서 나오는 수식들이 난해하여 어려웠지만.. 

 두 번째로 나를 괴롭혔던 것은 좌표계 때문이었다고 생각한다. 그럼, 좌표계라는게 뭔지부터 일단 알아봐야겠지용?

좌표계의 종류

 좌표계는 여러가지 종류가 있다. 우리가 흔히 알고 있는  직교 좌표계, 극 좌표계가 2D 좌표계이며 3D좌표계는 직각 좌표계와 더불어 원통좌표계, 구 좌표계 이렇게 존재한다. 

더 깊게 나아간다면 경로 좌표계란 것도 있다. 또한, 동역학이 점점 발전하면서 Generalized Coordinates 라는것도 등장하게 된다. 내 기억에 마지막의 좌표계는 Lagrange Method와 관련이 있어서.. 일단 흔히들 쓰는 2D 좌표계 세 개만 소개하겠다. 

직교 좌표계

 직교좌표계는 우리가 중학교때부터 배웠고 이를 활용했었다. 

 우리가 흔히 알고 있는 이 좌표계가 맞다. 이렇게 해서 점의 위치를 찾는 문제들 풀어본 기억이 다들 있을 것이다. 실제 역학에도 이렇게 좌표계에 대해서 언급해준다. 왜냐하면 이 좌표계를 알아둬야 나중에 벡터라는 것을 더하고 뺄 때 요긴하게 쓸 수 있기 때문이다. 이 좌표계는 물체가 직선 운동을 할 때는 요긴하게 표현할 수 있겠으나, 만약 물체가 돌아버린다면? 표현하기가 아주 아아아주 난해해질 것 같다. 

 그렇기에 또다른 좌표계가 있는데...

극 좌표계

 바로 극 좌표계다. 이 좌표계는 화살표의 크기를 반지름으로, 화살표의 각도를 세타로 잡고 물체의 위치를 표현한다. 이렇게 하면 직교좌표계로 회전을 표현하지 않아도 되며, 회전운동을 표현하는것이 매우 난해하고 복잡해지지 않을 것이다. 

경로 좌표계??

 마지막 좌표계가 조금 생소할 수 있을 것 같다. 왜냐면 이 좌표계는 동역학에서 자주 나오지 않는 좌표계이니까. 간단히 핵심만 말하자면 경로좌표계는 물체가 이동한 경로 자체가 좌표가 되는 것이다. 위의 두 좌표계와 다르게, 경로의 길이만이 점의 위치를 표현하는 것이 된다. 

 이 그림에서, 저 s만이 점 p를 나타내는 도구가 되는 좌표계이다. 이렇게 하면 편리한게, 벡터도 아닌 스칼라이기 때문에 저 길이만 알면 점 p가 어디에 있는지를 확인할 수 있게 되는 좌표계이다. 하지만, 스칼라로 표현된 좌표계이기 때문에 동역학에서는 그렇게 자주 쓰일 일이 없는 좌표계다...

왜 좌표계 때문에 동역학이 어려워지는가?

이렇게 다양한 방식의 좌표계가 있다는 것을 알았다. 그런데, 왜 좌표때문에 동역학이 어려워질까? 그건, 좌표라는게 상황에 따라 필요한 좌표계로 바꿔쓰거나 아니면 변환할 수 있기 때문이다. 그렇기 때문에 좌표를 잘 선택해서 문제를 접근해야 시간을 줄일수 있다. 반대로 좌표를 잘못 선택해서 문제를 풀어나간다면 A4용지 두 장을 넘겨도 문제가 안풀리는 경우도 종종 발생할 수 있다. 

 그리고, 좌표계를 바탕으로 Frame이라는게 있다. Frame이라는 건 정역학이나 동역학 문제를 해결할 때 물체의 어느 지점을 원점으로 만든 좌표이다. 프레임의 원점은 물체의 어느 지점일 필요는 없다. 어디에나 프레임의 원점을 지정할 수 있다. 또한 프레임은 그 자체가 속도나 가속도를 가지는 운동하는 물체로 취급할 수 있다. 왜냐면.. 프레임을 어느 물체로 해도 상관은 없기 때문이다. 그래서 물체간의 운동을 표현할 때 운동방정식이 많이 난해해질 수도 있다고 한 것이다. 특히나 이런 좌표계가 운동을 가지거나 회전을 하거나 하는 경우에...

비법은?

 안타깝지만, 비법이 없다. 이렇게 프레임을 정하고 운동을 표현하는 것은 본인이 문제를 풀어보면서 숙달하는 것 외에는 딱히 그 방법이 없는 것 같다. 나 또한 처음에는 이 작업이 너무 어려웠었는데, 자꾸 하다보면 요령이 생기게 되었다.  그래서 가끔씩 좋은 문제를 찾고 고민해보면 그걸 올려볼 생각이다. 그러면 어떻게 동역학을 접근하는지 요령을 조금이라도 배울 수 있을거라 생각한다.

 마지막으로.. 동역학 열심히 해보자! 

 정역학은 보통 기계공학과나 이와 유사한 학과에서 1학년 때 배우는 전공 기초과목이다. 대학교 1학년 때 배우는 학문인만큼 크게 어렵진 않다. 이와 유사한 게 동역학인데, 동역학과는 많이 다르다. 

정역학과 동역학의 차이 

 내 생각에 정역학과 동역학의 차이는, 운동방정식의 차이라고 할 수 있을 것 같다. 

 이렇게 표현한 이유는, 정역학은 물체가 안 움직이기 위해선 어느 지점의 외력이 몇 N 인지, 어느 지점의 모멘트가 얼마나 되는지 찾아내는 것이 주로 문제로 나왔다. 그리고 동역학은 물체가 외력을 받을 때 어떻게 운동할지 예측하는 게 주로 문제로 나왔었다. 

 결국, 외력의 총합이 0이 되어 정지한 물체는 정역학적 해석을 하면 되고 그렇지 않다면 동역학으로 넘어간다는 말이다. 

두 역학의 난이도를 비교해보자면?

 두 역학의 난이도를 비교해보자면 당연히 정역학쪽이 훨씬 쉽다는 말을 하고 싶다. 질 점(Particle)의 경우는 크게 난이도가 차이 나진 않으나, 강체로 넘어가게 되면 그 난이도가 달라진다. 정역학은 강체라고 해봐야 주로 보(Beam)를 다루게 될 것이며 부정정(운동 방정식 만으로는 해를 구할 수 없는 상태) 상태에 대한 해석을 하진 않기 때문에 깊게 들어갈 일이 없다. 하지만, 동역학은 운동 방정식에서 우변 ( F=ma에서 ma  부분)이 0이 아니기 때문이며, 그것과 더불어 각속도, 각가속도도 고려해야 하기 때문에 너무너무 머리가... 

 두 역학에서 중요한 부분

 일단 정역학과 동역학 두 분야에서 가장 중요한 부분이면서도 또 처음 보기 때문에 어려운 부분은 관성모멘트라는 개념일 것이다. 앞으로 기회가 된다면 차근히 설명하겠지만, 관성모멘트는 쉽게 말하자면 운동방정식의 질량과 같은 역할을 한다고 보면 된다. 

 이것은 형상에 따라 그 크기가 달라진다. 이를 계산하는 문제들.. 대학교 시절 중간 기말고사의 단골 손님이기에 꼭 수식을 외워서라도 가길 추천드린다. 

 그리고 정역학에서 중요한 부분이 있다면 바로 "보"라고 생각한다. 보의 전단력 선도, 모멘트 선도는 재료역학에서도 언급되고, 이를 그리지 못하면 부정 정보까지 해석하는데 에러가 생길 수 있기 때문에 1학년이라면 지금 시기에 꼭 마스터하고 2, 3학년이 되길 바란다. 

 동역학에서 중요한 부분은 역시 ... "강체"의 운동 파트 전체라고 본다. 강체의 운동 파트가 엄청나게 난해한 수식들이 많이 지배를 하고 있기 때문에.. 이 부분을 포기하고 B라도 받겠다는 사람들이 많았던 것으로 기억한다. 그 말은, 이 부분만 제대로 이해할 수 있다면 A는 확실히 받아갈 수 있다는 말이기도 하다. 그리고 이 부분은 나중에 진동학에서도, 제어공학에서도 한 번쯤은 다루고 넘어가는 부분이니까, 꼭 확실히 배워두길 바란다.