'기계공학- 일반기계기사/정역학 및 재료역학' 카테고리의 글 목록

풀이법

참고자료

문제에 대한 풀이

정정보란?

단순보에 단순 하중이 작용할 경우

안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 이번 포스팅에서는 정역학에서 보는 트러스 구조물들의 평형방정식 작성하는 방법과 풀이에 대해서 한 번 언급해보려고 합니다. 물론 트러스 구조물 복잡하게 나오면 다양한 방법이 있지만 일단 그것에 대해서는 추후에 작성하기로 하고, 이번 포스팅에서는 트러스와 간단한 구조물을 어떻게 해석하는지에 대해서 한 번 알아보도록 합시다.

트러스란 뭔가요?

트러스는 간단히 이야기하자면 자재들을 이어서 삼각형 모양으로 만들어 하중을 버티는 구조물입니다. 그림을 보면 바로 이해가 될 것 같네요.

이렇게 생긴 구조물들, 이렇게 생긴 다리들 길 지나다 보면 많이 봤을 겁니다. 삼각형 모양이 여러개로 이어져서 하나의 구조물이 된 것입니다. 이걸 보통 트러스라고 부릅니다. 대표적으로 에펠탑도 이런 트러스 구조물 중 하나입니다.

저는 트러스 구조를 활용하는 이유를 두 가지라고 봅니다. 우선 첫째는 철재의 특징을 알면 이해할 수 있는 것이라 생각합니다. 구조물을 만드는데 철을 쓰는 이유는 철 특유의 강력한 인장강도 때문입니다. 철이 잘 녹슬긴 하나 지각에서 흔히 구할 수 있는 물질이고 ( 가격이 싸다 ) 그 만한 가격에 큰 인장강도를 갖기 때문에 많이 활용하지요. 다만 압축에는 약하기에 그걸 보안하기 위하여 콘크리트를 붙이기도 하지요..

두 번째로는 이런 구조로 이어 붙이면 하중을 분산할 수 있습니다. 인장 혹은 압축 하중 위주로요. 이런 가정을 해봅시다.

구조물에 이 상태의 하중이 가해졌다면 각 부재들은 어떤 하중을 받게 될 지 한 번 분석해봅시다. 과연 어떻게 될까요?

일반기계기사에서의 트러스 해석

아까 가정에서 말한 저 정도의 트러스 구조물도 사실은 엄청 해석하기 까다롭고 어려운 축에 속해요.

동그라미 친 7 개의 점 각각에 대해 해석을 해야하기 때문이지요. 다행히도 일반기계기사에서는 고 정도의 수준까지는 아닙니다. 일반기계기사 문제 수준의 문제에 다가가기 전에 트러스 문제 어떻게 해석하는지 한 번 해봐야겠지요?

동그라미 친 7개의 점에 기호를 부여하고 이 트러스 하중을 분석하기 전 FBD (자유 물체도)를 그려서 각 점에서 어떻게 하중이 작용하는지에 대해서 표현한 것입니다. 일단 좌표를 정해 어느 방향을 +로 할 것인지 정하고 힘이 어떻게 작용할 지 예상한 것입니다. 아마 문제를 풀면 하중의 방향이 처음 정했던 것과 반대로 바뀌는 것들도 있을 겁니다. 이거 7개에 대해서 상세하게 설명하려면 스크롤이 엄청 늘어나겠네요.

각 질점의 하중을 분석하는데 있어서 사용한 룰은 딱 하나입니다. 트러스 구조물에 작용할 수 있는 하중은 부재의 축 방향으로 반력이 작용한다는 룰 하나만 가지고 간단한 기사문제를 해결해보며 이 포스팅을 마쳐보려고 해요.

2020년 1 2회 통합회차 일반기계기사 재료역학 9번 문제

이 문제는 엄청 간단한 트러스 문제입니다. 점이 세 개인데 그렇게 어렵게 접근할 필요도 없이 간단하게 해결할 수 있습니다. 방금 이야기했던 " 트러스 구조물에 작용할 수 있는 하중은 부재의 축 방향으로 반력이 작용한다 " 라고 했던 것 기억하시나요? 정역학에서 주구장창 사용하는 힘, 모멘트 평형 방정식과 그 원리만 가볍게 첨가해서 풀어보도록 할게요.

간단히 B점에서의 평형방정식만 구하면 되는 간단한 문제입니다. 모멘트도 구하고는 싶지만, 문제를 풀어보면서 왜 굳이 모멘트를 안 구해도 되는지 알겠더군요. 모멘트 평형도 하고싶으면 억지로 넣어도 되지만, 굳이 그러지 않아도 됩니다. 힘의 성분분해만 잘해도 미지수 구하는데 무리는 없습니다.

이 문제의 키포인트도 간단하게 말하자면 부재에 어떻게 반력이 작용하는지만 잘 알고 있다면 푸는데 어려울 것은 없습니다. 그림만 봐도 바로 이해할 수 있습니다. 혹은 트러스 해법이 아니라도 일반기계기사 수험서에 나와있는 풀이들로도 충분히 풀 수 있습니다.

마치며..

기사에서는 다루지 않지만, 트러스에서는 각 점에서 작용하는 하중을 분석하는 방법이 두 개 있습니다. 다음에는 그 두 가지 방법에 대해 소개하고 풀이해보도록 하겠습니다.

안녕하세요! 공돌이 인생무상입니다. 이번 포스팅에서는 저번에 포스팅했던 단면 2차 모멘트에 이어 단면 2차 모멘트와 관련있는 개념들을 한 번 알아보도록 합시다.

회전 반경

회전 반경은 주로 기둥의 좌굴에 대해 계산할 때 많이 쓰는 개념입니다. 이 회전 반경이란 것은 물리적인 의미가 있다기 보다는 평균값과 비슷한 개념이라고 보시면 됩니다.

간단하게 위의 수식처럼 계산을 하는 것인데 이게 왜 평균값과 비슷한 개념이라고 말하는 것일까요?

위의 식이 우리가 알고 있는 단면 2차 모멘트에 관한 기본 식인데요. 저 적분된 식에서 출발하지 않고 이렇게 생각해봅시다.

우리가 계산하는 물체들이 모두 균일하다고 생각했을 때 그 때 도심을 중심으로한 평균 반경은 어떻게 될 까요? 그 평균 반경을 구하는 것이 회전 반경이라는 개념으로 보시면 될 것 같네요.

그러면 간단하게 r이라는 값 (위에서는 K로 언급)을 구할 수 있게 됩니다.

어떤 물리적 의미가 아니라, 수학적으로 뭔가 평균을 구하거나 계산하기 위해 사용되는 개념이라는 것 정도로 알아둡시다. 참고로 재료 역학에서는 이런게 몇 개 뿐이지만, 유체역학에서는 몇 가지가 더 있어요. 추후에 재미있게 집필해보고 싶군요.

평행축 정리

만약 우리가 구하는 도형의 단면 2차 모멘트나 관성 모멘트를 구하여야하는데 물체의 도심이나 무게 중심에서 구하지 않고 임의의 다른 곳을 기준으로 하여 구하여야한다면 어떻게 계산해야할까요?

그래서 필요한 계산방법이 평행축 정리라고 이해하시면 됩니다. 이번에는 단면 2차 모멘트만 간단하게 살펴볼까요?

이런 상황을 가정해봅시다. 사각형의 단면 2차 모멘트와 그 도심을 구하는 것입니다. 다만 단면 2차 모멘트를 도심을 기준으로 구하는 것이 아닌 임의의 원점을 기준으로 구해봅시다.

도심을 기준으로 구할 때보다 약간 다르게 수식이 변경되었습니다. 도심에서 한 변까지의 거리를 x, y로 해서 구하지 않고 도심의 좌표 X, Y가 추가가 되면서 관성모멘트를 구하는 것으로 바뀌었습니다. 적분 기호 속 괄호의 수식이야 완전 제곱식을 전개한 후 하나하나 살펴봅시다.

그러면 Ix'과 Iy' 을 구할 때 뭔가 하나 이상한 부분이 있을 겁니다.

요 두개가 왜 0이 되었을까요? 단면 1차 모멘트에서 말하지 않고 넘어간 것이 있었습니다. 만약 단면 1차 모멘트를 구할 때 x, y 가 도심을 지나갈 경우 단면 1차 모멘트는 "0" 이 됩니다. 그래서 이 항은 0이 되어 날라가게 되는 것입니다.

그렇게 되면 남게 되는 것이 다음과 같습니다.

임의의 좌표에서 단면 2차 모멘트를 구하게 된다면 도심이 임의의 원점에서 얼마나 떨어져 있는지만 알아두면 될 것입니다. 알아봤으니 한 가지만 더 해볼까요? 마찬가지로 사각형입니다.

아니 왜 똑같은 사각형인데 왼 쪽은 분모가 12이고 오른쪽은 분모가 3이 되어 있을까요? 이것도 평행축 정리를 이용하면 간단하게 해결되지요. 그럼 그 해결과정을 한 번 알아보도록 합시다.

이 수식을 써서 사각형의 밑 변을 기준으로 단면 2차 모멘트를 계산해보도록 합시다. 도심을 중심으로 하지 않았기 때문에 도심 기준의 단면 2차 모멘트랑 다른 값이 나오겠네요.

사각형의 밑변은 도심에서 h/2 만큼 떨어져 있기 때문에 이 h/2를 제곱하고 넓이를 곱한 것에 도심에서 구한 단면 2차 모멘트를 더하면 됩니다. 이렇게 평행축 정리를 활용할 수 있습니다.

이 그림에서 왼 쪽은 분모가 12가 되고 오른쪽은 3이 된 게 왼쪽은 도심을 중심으로 단면 2차 모멘트를 구한 것이고 오른쪽은 밑변을 중심으로 단면 2차 모멘트를 구하였습니다. 다만 밑변을 중심으로 하면 도심에서 h/2만큼 아래로 이동하니까 그걸 반영해 평행축 정리를 이용한 것입니다.

단면 계수

단면 계수는 또 무엇일까요? 단면 2차 모멘트는 정말 뭔가 많이 나오네요. 간단히 말하면 응력과 토크, 응력과 모멘트의 관계식을 구할 때 쓰기 위한 개념정도로 이해해두시면 됩니다.

원래 단면계수라는 개념이 비틀림 응력과 굽힘 응력을 수학적으로 유도하기 위한 과정에서 나오는 것입니다. 그치만 기계기사 시험에서는 이를 인장응력을 구하는 수식처럼 사용하기 위해서 활용하는 개념이라고 보시면 됩니다.

저는 간단하게 사각형을 예시로 들었습니다. 단면계수는 간단하게 단면 2차 모멘트에 최외곽 반지름( 혹은 높이)을 나누어주면 구할 수 있습니다.

극관성모멘트

극관성모멘트는 단면을 수직 좌표계에서 보고 계산한 것이 아닌 극 좌표계로 보고 계산한 단면 2차 모멘트라고 보시면 됩니다. 단면이 y축에 x만큼, x축에 y만큼 떨어져 있을 때의 모멘트가 아니라 그냥 단순히 해당 단면이 원점으로부터 얼마만큼 떨어져있을 때 계산한 단면 2차 모멘트라는 뜻입니다.

사각형을 단순하게 직교 좌표계에서 본 것이 아니라 극좌표계 형식을 적용하여 계산한 것이기 때문에 x축에 관한 단면 2차 모멘트와 y축에 대한 단면 2차 모멘트의 합으로 나온 것입니다.

아마도 극 관성모멘트를 어떻게 써야할 지 헷갈리시는 분들이 많을 것 같네요. 간단하게 정리하자면 극 관성 모멘트는 토크와 전단응력, 비틀림 응력을 계산하실때 적용하면 됩니다. 극좌표계가 회전을 설명할 때 쓰는 좌표계고, 비틀림또한 단면이 회전하는 형태의 변형이기 때문에 그냥 단면 2차 모멘트가 아닌 극 관성모멘트를 적용하게 되는 것입니다.

반면 굽힘도 회전이긴 하지만 단면이 회전하는게 아니기 때문에 극 관성모멘트가 아니라 그냥 단면 2차 모멘트를 적용해서 재료역학 문제를 해결합니다.

안녕하세요! 공돌이인생무상입니다. 이번 포스팅에서는 단면 1 차모멘트에 이어서 단면 2차 모멘트에 대해서 이야기해보려고해요.

단면 2차 모멘트? 1차와 다른 점은?

참 사람 머리 아프게하는군요. 단면 1차는 뭐고, 단면 2차는 대체 무엇이기에 이렇게 구분을 해두는 것일까요?

단면 1차 모멘트와 2차 모멘트는 엄연히 다른 개념입니다. 저번 포스팅에서는 단면 1차 모멘트가 도심을 구하는 도중에 얻어진 것이었다고 말씀드렸습니다. 이번에 구하는 단면 2차 모멘트는 굽힘과 비틀림에 대한 단면의 성질을 표현하기 위한 수학적인 표현이라고 알아두시면 됩니다.

일반물리학과 동역학에도 관성모멘트라는게 나옵니다. 관성모멘트를 사용하는 이유는 뉴턴의 법칙과 비슷하게 만들기 위함이라고 보시면 됩니다.

이렇게 보면 뉴턴의 2 법칙과 모멘트의 수식이 비슷함을 알 수 있습니다.

동역학에서도 이렇게 비슷하게 만들어두었다면, 재료역학에서도 단면 2차 모멘트라는 것을 만들어 인장 압축 응력과 똑같이 사용하려고 한 것이 아닌가 생각해볼 수 있겠습니다.

그래서 단면 2차 모멘트는 뭔가 물리적 의미를 찾고 이해하려는 것 보다는 동역학의 관성모멘트 처럼 뭔가를 대체하기 위해 만든 개념이라고 보면 될 것 같습니다. 동역학에서의 관성모멘트가 질량이었다면, 재료역학에서 단면 2차 모멘트는 굽힘, 비틀림의 강성을 표현하는 것이라고 보시면 될 것 같습니다.

이걸 어떻게 계산하지?

단면 2차 모멘트와 동역학의 관성 모멘트를 구하는 수식은 다음과 같습니다.

단면 2차 모멘트도 동역학에서 나오는 관성모멘트와 마찬가지로 제곱 항이 들어갑니다. 다만 둘의 차이점은 이겁니다. 단면 2차 모멘트는 비틀림, 굽힘을 받는 물체의 단면에 대해서 계산을 하는 것이기 때문에 dA로 계산을 한다면 동역학의 관성모멘트는 강체 내부의 질량 m 을 가진 입자를 고려해서 강체의 관성모멘트를 구하기 때문에 수식이 좀 달라졌습니다. 그것 외에는 두 식이 거의 비슷합니다.

또한 강체나 도심 이외에 지역에서 관성모멘트를 구할 경우 둘 다 "평행축 정리"라는 계산방법을 도입하여 계산하여야 하며 그 수식 또한 거의 비슷함을 알 수 있습니다.

복잡한 도형들, 복잡한 그림들은 이 수식을 적당히 활용해서 구할 수 있지만, 기계기사를 준비하는 입장에서는 굳이 그렇게 자세히 이해할 필요는 없다고 생각합니다. 단순한 도형들 위주로 외워주시면 됩니다. 사각형, 삼각형, 원 요 세개정도만 잘 외워둬도 충분합니다. 아, 그리고 이 단순한 것 이외에도 평행축 정리에 대한 이야기도 꼭 하고 넘어가야 할 것 같네요.

그리고 재료역학의 관성모멘트에서는 파생되는 것들이 많이 있습니다. 회전반경과 단면계수, 극 관성모멘트, 극 단면계수입니다. 그것에 대한 이야기는 때가되면 다시 정리해서 올리도록 하겟습니다.

정역학, 재료역학에는 단면 1차 모멘트와 단면 2차 모멘트라는 두 종류의 모멘트가 있습니다. 허허 도대체 이 모멘트는 왜 구해야 하는지 참 머리가 아픕니다. 수식도 간단치가 않아요.

그러면 일단 1차, 2차 단면 모멘트부터 뭐가 뭔지 한 번 파악해보고 알아보도록 해야겠습니다. 우선 이번 포스팅에서는 단면 1차 모멘트에 대해서 파악해보도록 합시다.

단면 1차 모멘트

단면 1차 모멘트란 것은 물체의 "도심"이라는 것을 구하기 위해 활용하는 것입니다. 그렇다면 도심이 왜 필요할까요?

일단 무게에 대해서 한 번 생각해봅시다.

이렇게 질량이 m인 상자에 중력이 mg가 작용하고 있다고 가정해봅시다. 그러면 중력은 상자의 어느 부분에 작용하고 있다고 계산하면 정확할까요?

사실 이 그림처럼 저 상자가 무수히 작은 상자들의 합으로 이뤄져 있다면 상자에 작용하는 중력(무게)도 저 작은 상자들의 무게의 총합과 같다고 보면 됩니다. 그렇지요. 그러나 작은 상자들의 무게의 합으로 계산할 경우 그 무게의 크기는 구해지지만 그 무게가 어디에 작용하는지에 대해서 정확하게 찍어낼 수 있을까요?

단면 1차 모멘트는 그런 분포 하중, 중력 같은 부류의 하중이 어디에 정확하게 작용하는지 찾아내는데 필요한 개념입니다. 분포 하중이 어디에 작용한다고 가정해야 힘의 평형 방정식과 모멘트의 평형 방정식을 정확하게 풀 수 있을까라고 생각하시면 되지요.

일반기계기사에서 평면의 도심을 구하는데 필요한 수식은 다음 그림과 같습니다.

어떤 사고방식으로 이 수식이 유도되었을까?

이제부터는 조금 깊은 역학의 이야기가 될 수도 있습니다. 이런 2차원 평면이 있다고 생각해봅시다.

어느 평면의 임의의 점을 원점으로 했을 때를 가정해봅시다. 저 책의 저자분들은 임의의 원점에서 도심의 위치를 (bar x, bar y)로 정했습니다. 도심에서 물체의 중력이 작용합니다.

이제 모멘트 개념을 여기서 활용해봅시다. 임의의 축을 기준으로 도심에 작용하는 모멘트는 결국 미소 요소들의 중력으로 인해 발생하는 모멘트와 그 크기가 같아야 합니다. 자.. 요 점을 이용하면 도심을 구해볼 수 있을 것 같습니다.

일단 윗 줄의 My의 총합이 어떻게 되는지 생각해봅시다. 임의의 원점을 기준으로 y축을 그었을 경우 도심과 y축간의 거리는 bar x입니다. 그러면 My는 bar x 곱하기 W가 되겠지요. 이것은 임의의 미소 무게 요소의 중력으로 인해 생기는 모멘트의 총합과 같게 됩니다. 즉 시그마 x 곱하기 델타 W입니다.

Mx는 위의 My와 같은 방식으로 계산하면 될 것이고요. 여기서 밀도가 균일하고, 중력가속도도 상수라면 다음과 같이 수식이 표현되겠군요.

이렇게 하니 우리가 찾던 단면 1차 모멘트와 도심 간의 관계식을 구할 수 있군요.

여기서 꼭 가져가야 할 모양들의 도심 위치

일반기계기사 공부를 하면서 중요한 도심들은 사각형, 원형, 삼각형, 반원 정도라고 생각합니다. 빈출 되는 도형이기도 하고, 이 도형들을 활용하여 복잡한 계산 문제가 많이 나오기 때문입니다.

이렇게 여러 가지 사각형들을 활용해야 하는 문제가 빈출 됩니다. 이 문제의 경우 사각형이 파여있어서 빼기도 해야 하네요. 여러모로 복잡한 계산 문제인지라 계산기를 두드리기 전에 수식을 잘 활용해야 할 것 같습니다. 어떻게 풀어야 하는지는 잘 서술했다고 생각했기에 따로 더 올리지는 않겠습니다. 혹시 어떻게 풀어야하는지 궁금하시다면 댓글 주세요!

안녕하세요! 이번 포스팅도 재료역학에 관한 내용이에요. 요즘들어 꾸준히 재료역학에 대한 이야기들을 하고 있네요.

재료역학 강의는 많이 있지요. 이번에 추천드리고 싶은 강의는 대학생들이 들으면 좋을 법한 강의입니다.

KOCW의 이 강의를 추천드려요!

혹시 KOCW라는 강의를 아시나요? 구글에 kocw라고 검색해보시면 ...

이렇게 kocw를 입력합니다. 그러면..

바로 이렇게 검색창이 있습니다. 여기서 고체라고 검색하세요. 여기서 TMI인데요. 재료역학을 어떤 분들은 고체역학이라고도 부르십니다. 재료역학이 실제 고체 재료의 거동을 언급하는 역학이니까 틀린 이야기는 아니에용.

고체를 검색하시면 안득만 교수님의 강의가 있습니다. 여기 두 강의를 선택하세요!

강의 특징

안득만 교수님의 고체역학 강의의 특징은 굉장히 깊다는 것입니다. 저는 대학교의 강의가 이렇게 깊은 수준을 언급하고 고민할 수 있게 해줘야한다고 생각해요. 처음 강의의 30분 정도까지만 들어도 바로 알 수 있습니다. 그저 간단하게 수식만 알려주는 것이 아니라 수식이 왜 나왔는지, 그리고 어떻게 활용하는지도 깊게 잘 알려주시기 때문입니다.

간단한 예로, 고체 역학에서 첫 강의를 하시면 뉴턴의 법칙이 고체역학에서 어떻게 활용되는지와 뉴턴의 법칙이 안맞는 경우가 있다는 것을 알려주십니다. 뉴턴의 법칙이 질량을 갖고 있는 입자에 작용하는 외력과 가속도간의 관계식이며 안 맞는 경우가 세 가지 있으면...

1. 물체가 너무 작을 경우 뉴턴의 역학 대신 양자역학을 쓴 다는 것을 언급한다.

2. 물체의 등속도운동.. 그러나 그 속도가 매우 빠르면 특수 상대성이론의 영역에서 해결해야한다.

3. 물체가 굉장히 거대하거나 중력이 매우 클 경우 일반 상대성 이론의 영역에서 해결해야한다.

구체적으로 알려주시며 이론들의 깊이있는 해석을 해주시기 때문에 " 어 이게 왜 이렇게 되지??"같은 의문때문에 역학에 대해 이해하는데 시간이 많이 줄어들 것입니다.

누구에게 좋은 강의일까요?

제가 생각했을 때에는 기사 공부를 하시는 분들보다는 (일반기계기사, 건설기계기사와 같은 기사 자격증) 재료역학이라는 과목에 대해서 선행학습을 하시고 싶으신 분들, 또는 깊게 선행학습하거나 이 학문분야에 관심이 있으신 분들에게 추천드립니다. 왜냐면 많은 시간을 강의하시는 만큼 그 깊이가 많이 깊기 때문이지요. 다만, 강의에 많은 시간을 할애하여야 하기 때문에 기사 공부를 하시는 분들에게는 추천해드릴 수가 없습니다. 왜냐하면 기사 공부를 하시는 분들은 시간이 소중한데, 문제 풀이 대신 강의만 주구장창 듣다가 시험 못 칠수가 있기 때문이지요.